讨论google面试题 - 在从1到n的正数中1出现的次数

[ljsspace]

30.在从1到n的正数中1出现的次数
题目：输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

例如输入12，从1到12这些整数中包含1 的数字有1，10，11和12，1一共出现了5次。
分析：这是一道广为流传的google面试题。


我的一个分治解法：http://blog.csdn.net/ljsspace/archive/2011/05/22/6437981.aspx
请多指教。有更好的解法，也请积极讨论。谢谢！

[gw6328]

貌似有难度

[yyfhz]

将n位十进制数字排列成如下长度为n的数组，a[1]表示个位，这里要求首位A[n]>=1。
A[n]=(a[n],a[n-1],...,a[2],a[1])，其对应的值表示为A(n)
A[n-1]= (a[n-1],...,a[2],a[1])，其对应的值表示为A(n-1)
...
特别的，令
M[n]=(9[n],9[n-1],...,9[2],9[1])，其对应的值表示为M(n)

令F[A[n]]={从A[n]到0之间总共出现的1的个数}

则有
1. 当a[n]>1时，有
F[A[n]]=(a[n]-2)*F[M[n-1]] -->a[n]从2开始变到a[n]-1为止
+(M(n-1)+1)+F[M[n-1]] -->a[n]=1时的情形
+F[A[n-1]] -->a[n]取为a[n]时的情形。
+F[M[n-1]] -->A长度<n的情形
=a[n]*F[M[n-1]]+F[A[n-1]]+M(n-1)+1
=a[n]*F[M[n-1]]+F[A[n-1]]+10^(n-1)
2. 当a[n]=1时，有
F[A[n]]=F[M[n-1]] -->A长度<n的情形
+(M(n-1)+1)+F[A[n-1]] -->a[n]=1的情形
=F[M[n-1]]+F[A[n-1]]+10^(n-1)
=1*F[M[n-1]]+F[A[n-1]]+10^(n-1)
=a[n]*F[M[n-1]]+F[A[n-1]]+10^(n-1)
可见不论a[n]是否为1，均有
F[A[n]]=a[n]*F[M[n-1]]+F[A[n-1]]+10^(n-1)。 ...(1)
由于从M[n]到0的每一位均有0.1的比率出现1，因此总共出现1的数量为0.1*10^n=10^(n-1)，于是又
F[M[n]]=10^(n-1) ...(2)
将(2)代入(1)，有
F[A[n]]=a[n]*10^(n-2)+10^(n-1)+F[A[n-1]] ...(3)
利用(3)式以及F[A[1]]=1这个初始条件，直接1个循环，可以在Log(10,s)的时间范围内求得F[s]。
再往下推，有
F[A[n]]=a[n]*10^(n-2)+10^(n-1)+F[A[n-1]]
=a[n]*10^(n-2)+10^(n-1)+a[n-1]*10^(n-3)+10^(n-2)+F[A[n-2]]
=a[n]*10^(n-2)+10^(n-1)+a[n-1]*10^(n-3)+10^(n-2)+a[n-2]*10^(n-4)+10^(n-3)+F[A[n-3]]
=...
=a[n]*10^(n-2) +10^(n-1)
+a[n-1]*10^(n-3)+10^(n-2)
+a[n-2]*10^(n-4)+10^(n-3)
+...
+a[4]*10^(2) +10^(3)
+a[3]*10^(1) +10^(2)
+a[2]*10^(0) +10^(1) +F[A[1]]
=int(a(n)/10) + 10*(1-10^(n-1))/(1-10) + F[A[1]]
=int(a(n)/10) + 10*(10^(n-1)-1)/9+1 ...(4)
（4）式表明，对于任意一个n位正整数x，从0~x之间的1的出现次数（其实也就是从1到x之间的1的出现次数）
F(x)=int(x/10) + 10*(10^(n-1)-1)/9 + 1 这个就是通项公式可以之间拿来求。其中的int(xxx)表示对实数xxx向下取整。

[脱管态的狗]

发一下注释版

/********************************************************************

	purpose:	

	在从1到n的正数中1出现的次数
	题目：输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

	例如输入12，从1到12这些整数中包含1 的数字有1，10，11和12，1一共出现了5次。

	求满足f(i)=i(i<=911111111099999009)这样的数总计有多少个
*********************************************************************/
#include <iostream>
#include <string>
#include <time.h>

using namespace std;


int len;
int *perDigit; // 每位上的数字 
long long* fullOne; // 位数是n位的数，含1的总个数为fullOne[n]
long long* addTopOne; // 位数为n的数，首位为1时有多少个这样的数addTopOne[n] 即10^(n-1) 


int curDigit;
long long cnt = 0;
long long fixBit1 = 0;
int ocuur1Cnt = 0;
long long getOneCnt(long long n)
{
	len = 0;
	while (n > 0) {  // 把数字n分成十进制串对应的数字数组
		perDigit[len] = n % 10;
		n = n / 10;
		len++;
	}
	cnt = 0;
	fixBit1 = 0; // 数字n中1所在的位被小于此位的数字重复的次数
	ocuur1Cnt = 0; // 数字n有几位是1
	for (int i = len - 1; i >= 0; i--) { // 从十进制数高位到低位
		curDigit = perDigit[i];
		if (ocuur1Cnt > 0) {
			fixBit1 = fixBit1 * 10 + ocuur1Cnt * curDigit;
		}
		if (curDigit > 0) {
			if (curDigit == 1) {
				cnt += curDigit * fullOne[i];
				ocuur1Cnt++;
			} else {
				cnt += curDigit * fullOne[i] + addTopOne[i];
			}
		}
	}
	return cnt + fixBit1 + ocuur1Cnt;
}

void HowManyOne(long long topNum)
{
	clock_t start, finish; // 记录计算开始结束时间
	start = clock();

	len = 20; // 最长20位十进制数
	perDigit = new int[len];
	fullOne = new long long[len];
	addTopOne = new long long[len];
	fullOne[0] = 0;
	addTopOne[0] = 1;
	cnt = 1;
	for (int i = 1; i < len; i++) { // 初始化信息
		fullOne[i] = fullOne[i-1]*10 + cnt;
		cnt *= 10;
		addTopOne[i] = cnt;
	}


	long long stack[1000]; // 存储数据段, [from, to]及计算方向，每次分别存入from,to,dir
	long long lRel[1000]; // 符合f(i)==i表达式的i的数组
	int pStack = 0, pRel = 0; // stack与lRel当前长度或下一次存储位置或栈顶
	long long from, to, dir; // 当前要验证的一段数据的始终与验证方向，验证方向为0x01(向上) 0x10(向下) 0x11(向上向下均可以)
	long long fn, dist; // fn当前一个数字n对应的1到n所有数字的十进制中的1的总个数；dist临时变量（from与to的差）


	stack[0] = 1;
	stack[1] = topNum;
	stack[2] = 3; // 0x11
	pStack = 3;
	int maxP = 0;
	while (pStack > 0) { // 从stack中取出一段数据，验证其中的i是否满足f(i)==i
		dir = stack[--pStack];
		to = stack[--pStack];
		from = stack[--pStack];

		if ((dir & 0x01) != 0) { // UP 从from开始向to的方向计算 f(i)==i
			while (from <= to) {
				fn = getOneCnt(from);
				if (fn > from) {
					from = fn;
				} else if (fn < from) {
					from++;
					break;
				} else {
					lRel[pRel++] = fn;
					from++;
				}
			}
		}
		if ((dir & 0x10) != 0) { // down 从to开始向from的方向计算 f(i)==i
			while(from <= to) {
				fn = getOneCnt(to);
				if (fn < to) {
					to = fn;
				} else if (fn > to) {
					to--;
					break;
				} else {
					lRel[pRel++] = fn;
					to--;
				}
			}
		}
		if (to-from<2) { // 这一段己经很小，直接计算完
			for (;from<=to;from++) {
				if (from == getOneCnt(from)) {
					lRel[pRel++] = fn;
				}
			}
		} else { // 当前段向上向下己计算完，二分后入栈，再计算
			dist = (to - from) >> 1;
			dist = from + dist;
			stack[pStack++] = from;
			stack[pStack++] = dist;
			stack[pStack++] = 0x10;
			stack[pStack++] = dist+1;
			stack[pStack++] = to;
			stack[pStack++] = 0x01;
		}

	}

	finish = clock();
	int i = pRel;
	while(i > 0) // 输出符合f(i)==i的所有i
		cout<<lRel[--i] <<endl;
	cout<<"time: " << ((double)(finish-start))<<"ms" << endl;
	cout<<"total: " <<pRel<<endl;
}

void Test_HowManyOne()
{
	HowManyOne(911111111099999009LL);
}

[jiangchaomr]

// 不知可不可以

long lifang( long );
long counter( int );
int result( long );
int wei( int );

int main()
{
long n;
cout << "Please input a number: " << endl;
cin >> n;

cout << result( n ) << endl;

return 0;
}

// 求10的num次方
long lifang( long num )
{
long res = 1;
for( long i = 0; i < num; i++ )
{
res *= 10;
}
return res;
}

// 数数
long counter( int number )
{
long count = 1;
for( int i = 1; i < number - 1; i++ )
{
count += count * 9 + lifang( i );
}
return count;
}


// 测试n的位数
int wei( int n )
{
int number = 1;
while( n / 10 != 0 )
{
n /= 10;
number++;
}
return number;
}

int result( long n )
{
int count = 0;
int number = wei( n );

if( number == 1 )
{
if( n == 0 )
{
return count;
}
else
{
return ++count;
}
}
else
{
long lif_num = lifang( number - 1 );
int te = n / lif_num;
//cout << "lif_num: " << lif_num << "te: " << te << endl;
if( te ==1 )
{
count += n - lif_num + 1 + result( n - lif_num ) + counter( number );
}
else
{
//cout << "counter( number ): " << counter( number ) << endl;
count += lif_num + counter( number ) * te + result( n - te * lif_num );
}
}
}

[wangwindows]

众多版本.......

[lifelongemail]

哇咔咔~~

[yinlu78]

这个问题确实有数学公式可以直接求出,等我有空了把思路大家说一下

[Rico_Liu]

编程之美中的一题

[strangefx]

#include<stdio.h>
int static count;
void Sum(int n)
{
while(n!=0)
{
int temp=n%10;
if(temp==1)
count++;
n=n/10;
}
}
void main()
{
for(int i=0;i<=12;i++)
{
Sum(i);
}

printf("%d\n",count);

}

[intel286]

喜欢84楼的

[myuan605]

兄弟们有那么复杂吗？
直接把n转换成字符串，遍历字符串的每一个字符，是1的记录一下。
然后从1算到n不就搞定了。
n = f(1) + f(2)+ ... f(n)

[shiter]

可以查表的，构造一张足够大的表

[liujunhg]

我写的在值范围内，都是秒极时间

public class Count1 {
	public long count(long n){
		long num=0;
		num=(int)Math.ceil(n/10)+1;  //获取从1到n之间出现在个位上的1的个数
		//计算从十位后每一位上1的个数
		for(double i=2d;i<=Long.toString(n).length();i++){
            num=num+countWei(n,i) ;           
		}
		return num;
	} 
	/**
	 * 求1到n之间某位上1的个数
	 * 如：十位上1的个数就等于n/100取整后乘以10  + （（余数部分-10）大于10那么返回10否则就返回（余数部分-10））
	 *     百位上1的个数就等于n/1000取整后乘以100   + （（余数部分-100）大于100那么返回100否则就返回（余数部分-100））
	 *     ……
	 *     以此类推
	 *     X位上1的个数就等于n/X*10取整后乘以X  + （（余数部分-X）大于X那么返回X否则就返回（余数部分-X+1））
	 *     
	 * @param n 最大数（同上）
	 * @param d 要计算1的个数的某位（如：（10）十位d=2 ，（100）百位d=3……x位d等于x开10次方加1）
	 * @return
	 */
	public long countWei(long n,double d){
		long num=0;
		
		long weishu=   Double.valueOf(Math.pow(10d, d)).longValue();//        
        num=num+(n/weishu)*(weishu/10);
         if((n%weishu-weishu/10)>=(weishu/10)){
        	 num=num+weishu/10;
         }else{
        	 num=num+(n%weishu-weishu/10)+1;
         };

		return num;
	}
	public static void main(String args[]){
		Count1 c=new Count1();
		long l=92233720368547l;
		System.out.println(c.count(l));
	}
}

[zhang3317]

[linghuchong001]

看高手讨论

[qlz37238]

#include <stdio.h>
int main(void)
{
int i;
int num;
num=0;
for(i=0;i<=100;i++){
int n=i;
do{
if(n%10==1)
++num;
}while((n/=10)>0);
}
printf("%d",num);
return 0;
}

[kftbg]

good

[qq844628618]

映射可以解决的

[linghuchong001]

进来看高手解答

[wltiange]

将1到n的你个正数拼接成字符串，取字符串的长度然后遍历字符“1”出现的次数