已知一个点的坐标，如何判断该点是否在某扇形里面。

[AIQ.]

先插图


平均分成8份。从0°开始，每份45°。 如何判断改点在哪个扇形区域里面？（已知点的坐标）。 在线等 急急急·！！！

[A_Zhao]

我在上面提到的解法，虽然完全符合数学原理，但在计算机上运算，却有着致命的缺陷。

那就是：复数可以与实数对一一对应，而实数在数轴上是连续分布的。但是，计算机里的数字，都是以离散形态存在的。

那么，用计算机计算实数，不可避免地，将会有误差，而有些误差会造成定性判断的错误。

之前的解法，在上述问题上的风险，还是比较显著的。

于是，我们要寻找一个更加接近离散性判断的方法。

我们观察到，圆周内部区域，被分割为8个扇区。这8个扇区乃辐射对称且全等。

8等于2的3次方，这意味着，8个离散量必然可以用3个二元离散量的有序排列来一一对应。

二元离散量有3个，这意味着我们在题目中，要找到合适的关于自由点的三个自由度。

对于自由点A(x,y)，最合适的三个自由度：

（1）x>0 的真值；
（2）y>0 的真值；
（3）x^2>y^2 的真值（为什么是x和y的平方比较，而不用x>y？请思考一下……）。

可以列出如下真值表：

+-------+-------+-------+------+-------+--------+
|  x>0  |  y>0  |x^2>y^2| Code | dValue| Sector#|
+-------+-------+-------+------+-------+--------+
|   1   |   1   |   1   |  111 |   7   |    1   |
+-------+-------+-------+------+-------+--------+
|   1   |   1   |   0   |  110 |   6   |    2   |
+-------+-------+-------+------+-------+--------+
|   0   |   1   |   0   |  010 |   2   |    3   |
+-------+-------+-------+------+-------+--------+
|   0   |   1   |   1   |  011 |   3   |    4   |
+-------+-------+-------+------+-------+--------+
|   0   |   0   |   1   |  001 |   1   |    5   |
+-------+-------+-------+------+-------+--------+
|   0   |   0   |   0   |  000 |   0   |    6   |
+-------+-------+-------+------+-------+--------+
|   1   |   0   |   0   |  100 |   4   |    7   |
+-------+-------+-------+------+-------+--------+
|   1   |   0   |   1   |  101 |   5   |    8   |
+-------+-------+-------+------+-------+--------+

将三个真值按序排列，得到“Code”（编码），将Code视为一个二进制数，再将其值转化为十进制数值（dValue）。

可以看出，从dValue映射到扇区编号（Sector#），是双射（单射、满射），所以，可以构造一个完美Hash表：

+-------+--------+
| dValue| Sector#|
+-------+--------+
|   0   |    6   |
+-------+--------+
|   1   |    5   |
+-------+--------+
|   2   |    3   |
+-------+--------+
|   3   |    4   |
+-------+--------+
|   4   |    7   |
+-------+--------+
|   5   |    8   |
+-------+--------+
|   6   |    2   |
+-------+--------+
|   7   |    1   |
+-------+--------+

数学模型已经就绪，下面是C++代码：

#include<iostream>

using namespace std;

int main(void) {

	int sector[] = { 6, 5, 3, 4, 7, 8, 2, 1 };

	double r, x, y;

	cout << "Please tell me the Radius of your Circle:" << endl;
	cin >> r;

	cout << "Please tell me the value of X of your Point:" << endl;
	cin >> x;

	cout << "Please tell me the value of Y of your Point:" << endl;
	cin >> y;

	if (x * x + y * y > r * r) {
		cout << "Your point is OUT of your Circle!" << endl;
	} else {
		cout<< "Your Point is ON a certain area of the sector #"
			<< sector[(int) (x > 0) * 4 + (int) (y > 0) * 2
				+ (int) (x * x > y * y)] << "." << endl;

	}

	return 0;

}

呵呵，以上，仅供参考……

[zhengjiankang]

好复杂丫。。。

[A_Zhao]

按照楼主的题意，随手写了一段：

#include<iostream>
#include<math.h>

#define PI 3.1415926	//宏定义PI，意图是：一个圆周率的近似值。
using namespace std;

int whichSector(double X, double Y, double R) {

	double mod;
	mod = sqrt(X * X + Y * Y); //将点(X,Y)视为复平面上的点，与复数一一对应，现求复数的模。

	double arg;
	arg = atan2(Y, X); //求复数的辐角。

	if (mod > R) { //如果复数的模大于预设的半径，则返回0。
		return 0;
	} else { //根据复数的辐角来判别该点落在那个扇区。
		if (arg > (double) (0.0 * PI / 4.0)
				&& arg < (double) (1.0 * PI / 4.0)) {
			return 1;
		}
		if (arg > (double) (1.0 * PI / 4.0)
				&& arg < (double) (2.0 * PI / 4.0)) {
			return 2;
		}
		if (arg > (double) (2.0 * PI / 4.0)
				&& arg < (double) (3.0 * PI / 4.0)) {
			return 3;
		}
		if (arg > (double) (3.0 * PI / 4.0)
				&& arg < (double) (4.0 * PI / 4.0)) {
			return 4;
		}
		if (arg > (double) (-4.0 * PI / 4.0)
				&& arg < (double) (-3.0 * PI / 4.0)) {
			return 5;
		}
		if (arg > (double) (-3.0 * PI / 4.0)
				&& arg < (double) (-2.0 * PI / 4.0)) {
			return 6;
		}
		if (arg > (double) (-2.0 * PI / 4.0)
				&& arg < (double) (-1.0 * PI / 4.0)) {
			return 7;
		}
		if (arg > (double) (-1.0 * PI / 4.0)
				&& arg < (double) (-0.0 * PI / 4.0)) {
			return 8;
		}
		return 999; //这是几率极低的事件。
	}
	return 0;
}

int main(void) {
	double r, x, y;

	cout << "Please tell me the Radius of your Circle:" << endl;
	cin >> r;

	cout << "Please tell me the value of X of your Point:" << endl;
	cin >> x;

	cout << "Please tell me the value of Y of your Point:" << endl;
	cin >> y;

	int w;
	w = whichSector(x, y, r);

	if (0 == w) {
		cout << "Your point is OUT of your Circle!" << endl;
		return 0;
	} else {
		if (999 == w) {
			cout
					<< "Oops... Your Point is ***critically*** ON a border that belongs to no sector!"
					<< endl;

		} else {
			cout << "Your Point is ON a certain area of the sector #" << w
					<< "." << endl;
		}
	}

	return 0;

}

说明：
（1）以上代码，gcc -std=c99 编译OK！
（2）限于平台的计算精度，难以避免地，会出现解答(1,1)点为落在第2扇区等这样的情况。
（3）随手写的，欢迎大虾们修正、完善！

以上，仅供参考。

呵呵……

[proorck6]

我觉得要判断三次
第一次：判断是否在直线之上 a*x+b>y
第二次：判断是否在另一条直线之下 a*x+b<y
第三次：判断是否在圆内 sqrt(x^2+y^2)<R

[jiandingzhe]

[Quote=引用 5 楼 的回复:]

引用 3 楼 的回复:

直角坐标系：
tan θ = y/x

即可判断


或者更简单的

x>0, y>0, x>y, 第1扇形
x>0, y>0, x<y, 第2扇形
x<0, y>0, -x<y, 第3扇形
x<0, y>0, -x>y, 第4扇形
x<0, y<0, x>y, 第5扇形
x<0, y<0, x>y, 第6扇形
x>0, y<0, x<……
[/Quote]
赞一个。不过你没判断半径。

[W170532934]

楼上各位都挺牛

[AIQ.]

该点，，打错了

[AIQ.]

真的没人吗····

[A_Zhao]

[Quote=引用 9 楼 的回复:]

我觉得要判断三次
第一次：判断是否在直线之上 a*x+b>y
第二次：判断是否在另一条直线之下 a*x+b<y
第三次：判断是否在圆内 sqrt(x^2+y^2)<R
[/Quote]

这个……有点麻烦了……

题目中没有“直线”一设，为什么要另外引入“直线”？

“直线”指的是什么？

在本题中，最多只应该有两种直线（如果再另外构造出其他的直线的话，只会令问题更加麻烦）：

（1）分割扇区的径向线段所在的直线；

（2）过原点与自由点A(xA,yA)的直线。

所有这些直线，均过原点，所以直线方程y=ax+b中的常数项b恒等于0；

那么，直线方程的形式为 y=ax。

那么，分割出8个扇区的4条直线的方程为：

y=0

y=x

x=0

y=-x

自由点所在直线的方程为：

y=(yA/xA)*x

四条恒定直线，一条自由直线，能分别出8种情况吗？（忽略重合情况）

四条恒定直线，只能分别出4种情况。不能分别出8种情况。

为什么不能？

因为，原来自由点有两个自由度（xA、yA），现在用直线来表征它，就只剩下一个自由度（直线的斜率即yA/xA）了。

信息丢失了。

信息丢失的结果是什么？

比如说，自由点A取(xA=1,yA=2)，表征它的直线是y=2x，夹在y=x和x=0两条直线之间，即第2扇区和第6扇区都符合。

怎么判别，点A到底是落在第2扇区，还是第6扇区？

只能再通过判别xA、yA两值的正负来做。

上面还少了一步，判断y=2x夹在y=x和x=0两条直线之间，这种判断是如何实现的？

直线的斜率。

但是，问题又来了，x=0这条直线的斜率是无穷大。

人脑有无穷大的观念，电脑可没有。

复杂了……

以上，仅供参考。

呵呵……

[A_Zhao]

为了解决上述的“信息丢失”问题，我们必须找到一种信息不会丢失的等价变换。

在数学里面，实现这种等价变换的工具已经有了，那就是复数vs复平面（上的点）。

任何平面上的点（不论是用直角坐标系刻画，还是用极坐标系刻画），都等价于复平面上的点。

那么，我们可以把楼主的题目中的自由点A(xA,yA)视为复平面上的点。

根据高斯（C.F.Gauss）的原则，复平面上的点与复数是一一对应的。

即，自由点A(xA,yA)与复数Z=xA+yAi完全等价。

也即，自由点A的纵横坐标值与复数Z的虚实二部（不是任督二脉）完全等价。

从复数Z的虚实二部，变换为复数的模和辐角，这个过程中信息不会丢失。

而复数的模（mod）和辐角（arg）正是解答本题的关键：

（一）将复数Z的模与预设的圆半径比较大小，可以判别自由点是否超越圆周范围。

（二）根据复数Z的辐角，可以判别自由点落在哪个扇区。

进入C++ 解题：

（一）计算复数Z的模，很简单，纵横坐标值的平方和再开平方。

（二）计算复数Z的辐角，要注意，C++的<math.h>提供的atan反正切函数，只能计算出值域为从-PI/2到PI/2的所谓“主值”，这样不足以匹配8个扇区。所幸的是，<math.h>提供了atan2函数，该函数接受两个double参数即点的纵横二坐标值，可以计算出值域为从-PI到PI的全圆周角值。

上述解法，就是我贴在8楼的代码。

以上，仅供参考，呵呵……

[CandPointer]

直角坐标系：
tan θ = y/x

即可判断

[西山小月]

判断横纵坐标就可以啊

[CandPointer]

[Quote=引用 3 楼 的回复:]

直角坐标系：
tan θ = y/x

即可判断
[/Quote]

或者更简单的

x>0, y>0, x>y, 第1扇形
x>0, y>0, x<y, 第2扇形
x<0, y>0, -x<y, 第3扇形
x<0, y>0, -x>y, 第4扇形
x<0, y<0, x>y, 第5扇形
x<0, y<0, x>y, 第6扇形
x>0, y<0, x<-y, 第7扇形
x>0, y<0, x>-y, 第8扇形

几个 ?: 运算符可搞定

[nice_cxf]

先判断是不是在圆内(x*x+y*y<=r*r),以下按5楼说的即可

[Athenacle_]

1.判断是否在圆内，带入圆方程就行了

2.不用三角函数，把整个坐标系分为8个等分。分割线分别为坐标轴和函数 y=x 和 y=-x，根据(x,y)的取值范围直接判断就行了

情况1 : x>0 y>0 第一象限, 若x>y，在第一象限的上半部分，否则下半部分
情况2 : x<0 y>0 第二象限，若x>-y,在第二象限的上半部分，否则下半部分
情况3 ：x<0 y<0 第三象限。。。。。。
情况4 : x>0 y<0 第四象限。。。。。。

[Athenacle_]

哇，，慢了啊，，，

如果用tan算的话，要以圆心做为原点，从而把三角函数值分出正负才能区分象限