费马小定理在数论中是用欧拉定理证明的,但欧拉定理本身就比较麻烦,不过费马小定理另有个简洁的证明方法。
对于素数p和一个任意n(n不能被p整除),令:
n = c1 mod p
2n = c2 mod p
3n = c3 mod p
...........
in = ci mod p
...........
(p-1)n = c(p-1) mod p
由于n不能被p整除且p为素数,{ci}两两互不相等。因为如果有x,y<p使得cx=cy,将上面对应的式子取出相减得:(x-y)n = 0 mod p。由于x,y<p,(x-y)必然与p互质,所以有p|n,这就与题设矛盾了。所以{ci}两两互不相等命题成立。
再将上面那些式子连乘,得到:(p-1)! * n^(p-1) = Πci mod p
由于ci两两互不相等,它们只是1..(p-1)的一个乱序排列,所以 Πci = (p-1)! 。
用(p-1)! 去除上面那个式子即得:n^(p-1) = 1 mod p
这就是费马小定理,不过要注意的是,上面做连乘时,右边要得到 Πci mod p 还需要利用p为质数证明一下,这并不困难,我懒得写了。