开锁问题请您解决!

[lifanxi]

有如下一个有关算法的问题： 某单位共有M个人，在门上设置了一个密码锁，必须N个人同时到场才能将锁打开(N<M)。现将门锁设计一个密码，问：

1.此锁的密码共有几位数？

2.每人可以知道其中的几位密码？

答案是：1.密码位数为：C(M,N-1)（M为上标，N为下标）

2.每人知道的密码位数为：C(M-1,N-1)（M-1为上标，N-1为下标）

为什么是这样的一个答案?

[starmoon]

答案不对

[lifanxi]

答案肯定是对的。

[Asima]

我觉得这个问题的数学模型是这样的，用线性代数描述
已知存在M个两两互不相关的x维向量
每一个向量中有y个元素为1其余的全为零
其中任意N个向量相关，任意N-1个向量不相关
求x,y
x就是密码位数，y就是每个人知道的密码位数
答案我还没有想好，但是我会认真考虑这个问题的

[NowCan]

难度还真大，Asima说的也许正确。

[lifanxi]

我自己找到答案了！
可以从没办法开锁的角度去考虑，大家再想想，谁想出来分就给谁。

[Larky]

这曾经是山西省高中计算机竞赛的一道编程题！

[lifanxi]

我当然知道这是一道很经典的信息学竞赛题，我就是从一本NOI的培训教程上找到的，上面没答案。现在我在另一本书上找到了答案，我不想不给我的网友分，所以我将于7月10公布答案，在此之前谁答出我就把分给谁。

[Erlin]

我来试试吧。设密码位数为K，每人密码数为L，则有
C(K,L) = M,即每个人分L个密码有M种分法。
C(K-1,L)+1 = N,即若要使门不开，最坏情况下有一个密码不在N-1个人身上，这N-1个人在K-1个密码中取L个值的方法数为C(K-1,L)，再加上一个人正好等于N.
不知道是不是这个答案。

[lifanxi]

下面是标准答案，供大家参考：
题目告诉我们“至少有n个人同时在场才能打开锁”。换言之，任意n－1个人在一起，不能开锁，余下的m－（n－1）个人中的任意一人到场，就可以开锁。由m个人中的m－n+1的组合数为c（m，m－n＋1），故应有c（m，m－n+1）个码。对于任一个人来说，其余m－1个人中任意n－1个人在场，至少缺少一个这个人工作人员知道的密码而无法开锁，所以每个人到少要知道c（m－1，n－1）个密码。