测试一下你的数学水平

[forest]

同事给我一道数学题，是他读高一的儿子的，请各位给参谋一下：
已知x,y是实数，且X2-2XY+2Y2=2,求证：(X+Y)2<10
（由于显示格式问题，我把题目读出来：
已知x,y是实数，且X平方-2XY+2Y平方=2,求证：(X+Y)平方<10

[zdg]

证明:
因为不好书写, 规定x^2表示x的平方...

设 z=x-y
则 z^2+y^2=x^2-2xy+2y^2=2
x+y=2y+z
问题就是求证(2y+z)^2<10
假设(2y+z)的最大值为k
则 k=2y+z 肯定有解, 我们将z置换过来有: z=k-2y
两边平方
z^2=(k-2y)^2
因为y^2+z^2=2, 所以 z^2=2-y^2
所以 2-y^2=(k-2y)^2
两边展开合并有:
5y^2-4ky+k^2-2=0
因为这个方程有解, 所以
(4k)^2-4*5*(k^2-2)>0
展开就是 k^2<10
也就是说(2y+z)^2的最大值<10, 这就是结果...

[x86]

原来（X+Y）^2=10是成立的！

X=3*sqrt(10)/5
Y=2*sqrt(10)/5

[x86]

已知X^2-2XY+2Y^2=2 求证(X+Y)^2<10
有：
x^2-2xy+2y^2-2 = (x+y)^2+y^2-4xy-2 =0
=>(x+y)^2 = 4xy + 2 - y^2
要证(x+y)^2<10
即证：4xy + 2 -y^2 <10 =>y^2-4xy+8>0
当y=(-b/2a)即y=-(-4x)/2*1 = 2x时y^2-4xy+8有最小值。代入已知条件x^2-2xy+2y^2=2
有x=sqrt(2/5),y=2*sqrt(2/5)
代入y^2-4xy+8>0成立.

[x86]

我把这个帖子放在我们公司内部的BBS，回复居然不少。看来还是有不少人挺怀恋上学的日子。不过我自己倒是有廉颇老矣的感觉，因为我突然发现自己连一元二次方程的公式都忘了。下面是另一个解法：

因为：10 = 2 * 5
所以：要证明（X + Y）^2 < 10,只需要证明：
（X + Y）^2 < 5*（X^2 - 2XY + 2Y^2）,展开合并同类项后，得到4X^2 - 12XY + 9Y^2 > 0,即：
（2X - 3Y）^2 > 0,你说成不成立呢？

[Smile_Tiger]

另类解法，
把二次曲线 x^2 - 2xy +2y^2 = 2画出来
再把 (x + y)^2 < 10 图象画出来，应该是个区域

然后再试图证明

呵呵，很麻烦的

[酷点点]

x86后一个解法很巧妙！
哎！我真是老了！！！况且本来数学就一般！呵呵