求助一道算法题

[kookhit]

题目：书架上有N本书，全部取下来，然后再全部放回去，要求每本书都不在原来的位置上，求有多少种摆放方法。

函数原形：int fun（int N）；
例如：输入3返回2；

要考虑算法性能，
大家帮忙看看怎么做比较好

[yaunx]

n!-1

[yaunx]

貌似我题目理解错了...

[kookhit]

ls的兄台看好了，是每本书都不在原来的位置上

[yaunx]

呃,想了下,给个计算式

n!(1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+...+(-1)^n/n!)

[yaunx]

可以使用容斥原理证明,编辑公式太麻烦,我就偷懒不写了...

[renzaijiang]

好象是n-1啊
1 2 3

2 3 1
3 1 2
2 种
1 2 3 4

2 1 4 3
3 4 2 1
4 3 1 2
３种

[wang430903]

设n本书m本不动共有f（n,m）
则有 f(n,0)=n!-f(n,1)-f(n,2)……f(n,n) -----------1式
又有 f(n,m)=(n!)/((n-m+1)!)*f(n-m,0) 0=<m<=n -----------2式
再由 f(1,0)=0 f(1,1)=1 递推最终得到结果


最终结果真搞笑，我自己也不信 f(n,0)=n-1

下面是我的代码 很乱 -- ：（
#include <stdio.h>
int f(int n,int m)
{
if(n<m||n<0||m<0)
printf("error!!!");
if(n==m)
return 1;
if(n==1&&m==0)
return 0;
if(n==1&&m==1)
return 1;
if(m==0)
{
int temp=1;
for(int i=1;i<n+1;i++)
{
temp*=i;
}
for(i=1;i<n+1;i++)
{
temp-=f(n,i);
}
return temp;
}
int temp=1;
for(int i=0;i<m;i++)
{
temp*=(n-i);
}
return (temp*f((n-m),0));
}

void main()
{
for(int i=1;i<10;i++)
for (int k=0;k<=i;k++)
printf("f(%d,%d)------>%d\n",i,k,f(i,k));
}

[wang430903]

不知道错在哪里

[wang430903]

f(n,m)=(n!)/((n-m+1)!)*f(n-m,0) 0=<m<=n -----------2式
--------------------------------------------------------------------
上面的式子有错误应该为：
f(n,m)=(n!)/((n-m+1)!)/m!*f(n-m,0)

[dufusjw]

对szlhj()的分析稍加改动得到:
F(n)=n!-[C(n-1,n)F(n-1)+C(n-2,n)F(n-2)+...+C(n-i,n)F(n-i)+...+C(1,n)F(1)+1];
其中C(m,n)表示排列组合中从n个中取m个不排序的可能数;
怎么求出F(n)表达式?

[中间件XL]

可以写代码
F(1)=1
F(1)-->F(2)
...

[mathe]

n!/e的四舍五入
就是公式n!(1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+...+(-1)^n/n!)的简化
这是因为
e^(-1)=1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+...+(-1)^n/n!+....
所以
n!/e = n!(1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+...+(-1)^n/n!+...)
去掉前面n-1项后，余下的为
n!*((-1)^(n+1)/(n+1)!+.....)
=(-1)^(n+1)*[1/(n+1)-1/(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)(n+3)-...)
这个数据绝对值小于1/(n+1)<＝1/2
所以在n>=1时，我们就可以用
n!/e来替换，误差小于1/2
由于结果是整数，我们可以直接用n!/e四舍五入来替换了。

[wang430903]

0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, 32071101049, 481066515734, 7697064251745, 130850092279664, 2355301661033953, 44750731559645106, 895014631192902121, 18795307255050944540...........

[VBDONET]

俺写了一个递推的公式，貌似要用递归来实现，很痛苦~~~
我算了前面8个，和楼上的结果一样，上班时间不能太嚣张~~不算下去了。
暂时也无法得到什么能精简算法的东西
只有一点是可以肯定的，结果肯定是n-1的倍数

[kookhit]

谢谢mathe()
果然是高手，这个方法不错，

还有没有其他方法呢？

[kookhit]

我自己又想了下，得到如下计算：

Sn=(N-1)(Sn-2 + (N-2)(N-3)....1)
=(N-1)!+(N-1)Sn-2

这个递推公式应该对了吧
（Sn-2中n-2是下标）

[中间件XL]

我觉得推到一定程度没必要再推，再推变成纯数学问题，失去了问题的域意义，失去了面向对象的重用思想。不过你当它数学题做就没问题，我相信ls的递推公式要推到：n!(1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+...+(-1)^n/n!)
还有很长的路。

[yaunx]

我记得有个IOI金牌说过,数学题算法做,算法题数学做

[yaunx]

而且n!(1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+...+(-1)^n/n!)也只是使用了容斥原理一步就得出的结论

[wxspll]

mark