高难问题求解

[cosmicrays]

1764434的1839次方对356295求模=？
求诸如这样的计算求解的快速算法
即高次平方求模的快速算法
用于公开密匙加密及解密中

[cosmicrays]

mathe() 兄，算法很好
bjay(ben) 兄，请教“大数存储问题”的解决方法

[mathe]

有道理，其实上面的code只是一个Demo

[starfish]

下面这个算法求解模取幂更快一点：
Modular-Exponentiation(a, b, n) // 求 a^b mod n
1. c <- 0;
2. d <- 1;
3. 设<b[k],b[k-1],..b[0]>是b的二进制表示;
4. for i <- k downto 0
5. do c <- 2c;
6. d <- (d*d) mod n
7. if b[i] = 1
8. then c <- c＋１；
9. 　　　　　　d <- (d*a) mod n;
10.return d;

算法中的变量ｃ其实可以省略，引入ｃ只是为了让算法更容易理解。当ｃ成倍增加时算法保持条件d = a^c mod n不变，直至c=b。如果输入a,b,n都是k位的数，则算法总共需要执行的算术运算次数为O(k)，总共需要执行的位操作为O(k^2)。

下面是该算法的C代码，其中的BitLength可以用log函数代替。

/*********************************************

返回x的二进制长度

*********************************************/
int BitLength(int x)
{
int d = 0;
while (x > 0) {
x >>= 1;
d++;
}
return d;
}

/*********************************************

返回x的二进制表示中从低到高的第i位
，最低位为第一位

*********************************************/

int BitAt(int x, int i)
{
return ( x & (1 << (i-1)) );
}

/*********************************************

模取幂运算 计算a^b mod n

*********************************************/

int Modular_Expoent(int a,int b,int n)
{

int i, y=1;
for (i = BitLength(b); i > 0; i--)
{
y = (y*y)%n;
if (BitAt(b,i) > 0)
y = (y*a)%n;
}
return y;

}

[starfish]

#include <iostream>
using namespace std;

/*********************************************

返回x的二进制长度

*********************************************/
template <class T>
T BitLength(T x)
{
T d = 0;
while (x > 0) {
x >>= 1;
d++;
}
return d;
}

/*********************************************

返回x的二进制表示中从低到高的第i位
，最低位为第一位

*********************************************/
template <class T>
T BitAt(T x, T i)
{
return ( x & (1 << (i-1)) );
}

/*********************************************

模取幂运算 计算a^b mod n

*********************************************/
template <class T>
T Modular_Expoent(T a, T b, T n)
{

T i, y=1;
for (i = BitLength(b); i > 0; i--)
{
y = (y * y) % n;
if (BitAt(b,i) > 0)
y = (y * a) % n;
}
return y;

}

void main()
{
__int64 a, b, n;
//cin >> a >> b >> n;
a = 1764434;
b = 1839;
n = 356295;
cout << Modular_Expoent(a, b, n) << endl;
getchar();
getchar();
}


计算结果是138554

[cosmicrays]

谢谢诸位高手
mathe() 兄 30分
bjay(ben) 兄 10分
starfish(海星) 兄 60分

[mathe]

int value=1;
int mul=1764434;
int index=1839;
int mod=356295;
while(index)
{
if(index&1){
value*=mul;
value%=mod;
}
mul*=mul;
mul%=mod;
index>>=1;
}
return value;

[IT_worker]

高手就是高手！up

[bjay]

提点改进意见：

1、在while语句前应加入mul %=mod;。
2、由于mod =356295及2＾64 > 356295^2 > 2^32使得上面程序在32位机上已无法运算。建议使用64位机:-)。如果没有64位机，只好用前面有人讨论过的“大数存储问题”的解决方法了。