2^n*3^m

2002-04-26 08:20:24 162 阅读 AI 写同款 · GEO 优化AI 选题数据监测一键分发 ›

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把2^n*3^m (0<=n,m)
的值从小到大排列
求第x项的数

...全文

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切换为时间正序

mathe 2002-05-09

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算法时间复杂度可以为O(x^0.5)

Lawrence444 2002-05-08

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第1500项这种小小的数当然可以直接算啦

DaNiao 2002-05-08

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所谓所有可能的数，我开始时用64位长整型算了1000亿以下的所有符合条件的数
后来发现算到10亿就够了

DaNiao 2002-05-08

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我前几天做了一个类似的题:
http://acm.uva.es/p/v1/136.html
他问的是在序列2^n*3^m*5^k里由小到大第1500个是多少
我用的是一个三重循环，把所有可能的数算出来
然后排序，然后输出第1500个（大约是8亿多）
如果用快速排序可以在2sec内算出
如果用堆（实际上没有进行完全的排序）可以在1ms内算出
我用的是athlon 850

xiongxiao 2002-05-04

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看了这么多我还是一头雾水，是不是我理解能力太差了，现在举个例子：
2^n*3^m的
第5项=？
第6项=？
第10项=？
第11项=？
第12项=？
请各位告知一下答案。

crazy_lazy_pig 2002-05-04

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易知：
2^n1*3^m1 <= 2^n*3^m ( n1<=n , m1<=m ) (1)
又：
当m+n = m0+n0 = k时，2^n0*3^m0 < 2^n*3^m (m0<m) (2)
前两种情况中，比2^n*3^m 小的共：m*n+m-1 个（这里假设n、m不为零）

又: m0+n0<m+n 且 n0>n 时，由上面式子可推出（篇幅限制，不详述）
2^n0*3^m0 < 2^n*3^m (m0<m)
此情况共（m-1)*(m-2)/2 个（计算步骤略）

另外：m0+n0 > m+n 且 m0>m 时，2^n0*3^m0 > 2^n*3^m (m0<m) (参见（2））
所以只需讨论m0+n0 < m+n 且 m0>m , m0+n0 > m+n 且 m0<m两种情况了。
至此，我们知道：
对于确定的m、n 至少有m*n+m-1 +（m-1)*(m-2)/2 个表达式比2^n*3^m 小。
（待续）

MrYoucheng 2002-05-01

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最简单的方法
求出来排序到数组然后查询

最快的当然是建立数学模型求出g（x）与f（n，m）的影射关系

Lawrence444 2002-04-29

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哦，前面说的确实有点问题，搜索的复杂度是O(m^2)，不是O(m*n)

xiongxiao 2002-04-29

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希望题目的意思更明确一点，尤其是对 M 的取值问题，如果N与M都可以是无穷大，则当M=0时，N=1/X，2^n*3^m就有最小值为2^1/X。如N只能为自然数，则N=X就行。
但不管M的取值如何，总让它最小就行，谁叫3比2大呢。

Lawrence444 2002-04-29

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有了，我只要取以2为底的对数，得到的对数式就是
n*log2+m*log3(2为底）=n+m*log3(2为底） (我真是不知道怎么写“以2为底的对数！”)

这样的话只需要O(m)的时间就可以找出第x项了。
具体的程序我吃完饭回来写

Lawrence444 2002-04-29

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xiongxiao:
不懂你说的。问题中，N,M肯定是整数，否则这题就没有解的可能。然后，这题明显的，第一项是1，第二项是2，第三项是3，M如果永远取零的话，第三项就是2^2=4了，这是不对的。

wanbaocheng：
我是说：
此题搜索很简单，关键的问题就是当n,m数目较大的时候，程序无法处理这么长的数，所以关键就是要减小原式在n,m都比较大的时候的值，然后就可以搜索了。减小值的工作可以用求对数来进行。

因为，logx < logy =〉 x<y（x,y>0)
又因，n,m>=0时2^n*3^m肯定大于零

可知求2^n*3^m值从小到大排，n,m的序列就等同于求log(2^n*3^m)值从小到大排，n,m的序列。

log(2^n*3^m)=n*log2+m*log3，所以就对这个式子执行搜索就行了。

wanbaocheng 2002-04-29

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TO Lawrence444(胖子):
你好像说的不对，能否再详细说一下你的思路。

Lawrence444 2002-04-28

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我的意思是这样

你的这个式子：2^n*3^m，如果求对数的话就得到
log(2^n*3^m)=n*log2 + m*log3
这样，就只要找到n*log2+m*log3的第x项就行了，这可以用死搜实现，复杂度是O(n*m)，也就是O(x)。

也许再想想还可以更快些。

flyinfree 2002-04-28

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是

wanbaocheng 2002-04-28

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（接上）
比如
第1001项的m=36，n=12，用时0.002秒
第1000000项的m=107，n=1055，用时0.2秒
第10000000项的m=1657，n=2506，用时1.8秒
用matlab语言编写的。
请验证。

wanbaocheng 2002-04-28

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首先问一下你那里的m和n是否是自然数（包括零），若是下面就是对的。
我这里有一个算法可以解决你的问题，时间复杂度是O（x）。这样想求出第1000000项在弹指之间。

timepalette 2002-04-27

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#include <stdio.h>
long fromx(int x){
long m,n;
for (m=1;;m++){
n=m;
while (n%2==0) n/=2;
while (n%3==0) n/=3;
if (n==1) if (--x==0) return m;
}
}
void main(){
printf("%d",fromx(10));
}
可能慢了一些（fromx(20)要执行1秒）
楼上说的用对数我不会，期待更快的算法.

flyinfree 2002-04-27

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意思是把能得到的所有值按升序排列
,求第x项

xiongxiao 2002-04-27

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题目有问题,如果N或M我让其中一个永远为0,那答案就太简单了, 好像如此做也没有违背题目的意思.

Lawrence444 2002-04-26

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这题用对数做。

因为如果logx<logy，则x<y。所以对你的这个式子求对数，然后再搜索就行了。

2^n*3^m

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