高手快请进，郁闷死我了：有限域上的多项式的求余（决不吝分！！！）

hauck 2002-05-15 09:12:15

有限域GF（256）(就是有限域GF(2^8))上的两个多项式:(n>m)
f(x)=a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n,
g(x)=g0 + g1*x + g2*x^2 + ... + gm-1*x^m-1 + x^m,
求用g(x)去除f(x)所得的余数多项式.
请高手给个思路,点拨一下,有程序更好!
只要验证是对的,可用分倾囊相赠!

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xjl930 2002-05-16

我也有同样的问题，但我也没找到合适的方法解决，共同研究学习！

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southnan 2002-05-16

这个问题比较有深度，收藏，慢慢研究！

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mathe 2002-05-16

对于GF(256),可以先计算出其乘法表。
在GF(256)中，加法就是异或运算，任意一个元素都可以表示成GF(2)
上的一个最多7次的多项式，
所以
0=000 就是0
1=001 就是1
2=0010就是x+0=x
3=0011就是x+1
4=00100就是x^2
然后对于两个变量
u,v
可以先计算两个对应多项式的乘积（需要注意的是加法是模2的，或者说是异或运算），
比如
3*7=(x+1)*(x^2+x+1)=x*x^2+x*x+x+x^2+x+1=x^3+1 (模2运算中x+x=0 and x^2+x^2=0)
所以3*7=9
在乘积得出来的多项式次数大于7时，我们需要对多项式在GF(2)上关于h(x)求余数，也就是
129*5=(x^7+1)*(x^2+1)=x^9+x^7+x^2+1
将上面的函数加上x*h(x)可以消去x^9,（其实就是手工除法过程，只是现在每一次商总是0或1），所以
129*5=x^9+x^7+x^2+1+x^9+x^5+x^4+x^3+x=x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
=0010111111=191
在得出乘法表以后，我们可以很快的从表格中对于每一个元素找到它的逆，于是逆运算也有了，除法就可以分解为乘法和逆运算。
有了加乘逆以后（对于GF(2^n)减法同加法没有分别）
就可以使用手工除法了

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microblue 2002-05-16

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hauck 2002-05-16

多谢各位！
经过我细心的检查，终于找的了问题所在，结果已经调出来了，是对的！
哈哈，真是太高兴了，不过，也很惭愧，只是一点小小的马虎，
让我郁闷了这么久！
呵呵，今天心情太好了，晚上结帖，再给各位一个UP的机会，
就当是散分了，：）
大家快来呀～～～～～～～～～

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hauck 2002-05-16

to mathe（）：
多谢多谢！！
你讲得很详细。GF（256）域上的加法是异或运算，乘法的运算我也用程序编出来了，我也验证了，是对的。但是我没有用到“逆运算”，我对这个概念不太明白，是指两个元素乘积为单位元，它们就互为逆元素吗？那么，在这个域中，单位元是1（00000001）吗？
还有一点要请教：
GF（256）上的一个元素，a^i，对应的多项式可以是升幂排列，也可以是降幂排列，比如：2可以表示为：01000000，也可以表示为：00000010，我到底应该选用哪种呢？

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hauck 2002-05-15

to starfish(海星):
是GF(256)有限域上的,对这个域上的乘法和加法规则,我理解得不是很透,
对了,忘了说了:所用的这个域的本原多项式是:
h(x)=x^8 + x^4 + x^3 + x^2 + 1,
请予指点,救命则个!

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