证明n!>=(1/2)*(n^(2/n))

[间谍]

谢谢了，好像能用数学归纳，具体怎么办呀？

[间谍]

写错了，应该是n!>=(1/2)*(n^(n/2))

[atlantis13579]

由二项式定理
(1+1/n)^n=1+n*1/n+(n(n-1)/2)*(1/n^2)+(n(n-1)(n-2)/3!)*(1/n^3)+.......+1/n^n
=1+1+(1/2)*(1-1/n)+(1/3!)*(1-1/n)(1-2/n)+....+(1/n!)*(1-1/n)*...*(1-(n-1)/n)
<=1+1+1/2!+1/3!+....+1/n!
<=1+1+1/2+1/2^2+....+1/2^(n-1)
<1+1+1/2+1/2^2+....+1/2^(n-1)+.....
=3

所以当n>=2时,n+1>=3>(1+1/n)^n
--->(n+1)^2>(n+1)^n/n^n
--->(n+1)*n^(n/2)>(n+1)^((n+1)/2)

由数学归纳法:
k=1,2时可验证
n+1时
(n+1)!>(n+1)*(1/2)*n^(n/2)>(1/2)*(n+1)^((n+1)/2)