一个挑战智商的问题

[birdflash]

近日碰到一个棘手的问题,请高手指教:
现有12个大小形状相同的小球,其中有一个重量不同于其他11个球,但不知道是轻些还是重些,提供一个天平,要求只能称3次,找到这个不同的球?

[atlantis13579]

首先将球分成四堆：标为甲乙丙三组

首先将甲乙两组放上天平，看是否平衡？（第一次使用天平）

有两种情况：1、天平平衡。2、天平不平衡。

第一种情况：可以判断次品球在丙盘内。然后从丙盘中取出三个球与乙盘中任三个球交换。看天平是否平衡？（第二次使用天平）
{
有两种情况：1、天平平衡。2、天平不平衡。
第一种情况：可以断定丙盘中剩下的那个就是次品。
第二种情况：可以断定刚从丙盘中取出的三个球中有一个是次品。且可以判断出次品球是轻还是重！！！！！（主要看天平乙盘是下

降还是上升：下降，次品球重。上升，次品球轻）
要想从三个球中找出哪个是次品球，且已知次品球是轻是重，就不用我说了吧！！！！！！！！
}
第二种情况：可以判断出丙盘中全为好球。不是一般性，假设甲盘重。然后从丙盘中取出三个球与乙盘中任三个球交换。（注意，此为关键步

骤）然后将乙盘中剩下的那只球与甲盘中的任一球交换。看天平是否平衡？（第二次使用天平）
{
有两种情况：1、天平平衡。2、天平不平衡。
第一种情况：可以判断出从乙盘中取出的三只球中有一为次品，且次品球轻。下面最后一步就不用我说了，与上同。
第二种情况：此时天平不平衡时有两种情况。1、不会改变甲乙两盘的原有位置。2、改变甲乙两盘的原有位置。
{
1、可以判断次品球在甲盘剩下的三只球中，且次品球重。下面最后一步就不用我说了，与上同。
2、可以判断从乙盘中与甲盘中交换的两只球中有一只必为次品，但此时不知道次品球是轻还是重。
最后一次使用天平是从两只球挑出次品球，应该不用我说了吧。
}
}

[atlantis13579]

首先将球分成四堆：标为甲乙丙三组

首先将甲乙两组放上天平，看是否平衡？（第一次使用天平）

有两种情况：1、天平平衡。2、天平不平衡。

第一种情况：可以判断次品球在丙盘内。然后从丙盘中取出三个球与乙盘中任三个球交换。看天平是否平衡？（第二次使用天平）
{
有两种情况：1、天平平衡。2、天平不平衡。
第一种情况：可以断定丙盘中剩下的那个就是次品。
第二种情况：可以断定刚从丙盘中取出的三个球中有一个是次品。且可以判断出次品球是轻还是重！！！！！（主要看天平乙盘是下

降还是上升：下降，次品球重。上升，次品球轻）
要想从三个球中找出哪个是次品球，且已知次品球是轻是重，就不用我说了吧！！！！！！！！
}
第二种情况：可以判断出丙盘中全为好球。不是一般性，假设甲盘重。然后从丙盘中取出三个球与乙盘中任三个球交换。（注意，此为关键步

骤）然后将乙盘中剩下的那只球与甲盘中的任一球交换。看天平是否平衡？（第二次使用天平）
{
有两种情况：1、天平平衡。2、天平不平衡。
第一种情况：可以判断出从乙盘中取出的三只球中有一为次品，且次品球轻。下面最后一步就不用我说了，与上同。
第二种情况：此时天平不平衡时有两种情况。1、不会改变甲乙两盘的原有位置。2、改变甲乙两盘的原有位置。
{
1、可以判断次品球在甲盘剩下的三只球中，且次品球重。下面最后一步就不用我说了，与上同。
2、可以判断从乙盘中与甲盘中交换的两只球中有一只必为次品，但此时不知道次品球是轻还是重。
最后一次使用天平是从两只球挑出次品球，应该不用我说了吧。
}
}

[theng]

old puzzle

[zhoukun666]

up!

[zhaotao0982]

这个问题我想你可能少告诉一个条件，就是不相同的那一个球比别的重还是轻。假如说是轻：
先将球分为3堆：5个，5个，1个，将两个5个的堆各方在天平的一边，如果两边一样重，那么那一个就是不同的，否则将轻的那一边的五个分为三堆：2个，2个，1个。先称两个，如果两个一样重，则不同的就是那一个一堆的，否则把轻的那一段的2个分为两份，一称便知。

[ynli2002]

不会吧

还有人问这个问题

救命啊。。。。。。

[LeeMaRS]

晕倒....这个问题已经问到快要发霉了...

0. N 个球，其中有一个坏球比别的球重，
问用无砝码天平最多称几次可将坏球找出来
(典型例子：27个球最多称3次)

1. N 个球，其中有一个坏球与别的球重量不同，
问用无砝码天平最多称几次可将坏球找出来
(典型例子：13个球最多称3次)

2. N 个球，其中有一个坏球与别的球重量不同，
问用无砝码天平最多称几次可将坏球找出来，并知其偏轻还是偏重
(典型例子：12个球最多称3次)

3. N 个球，其中有一个坏球与别的球重量不同，另有一个标准球，
问用无砝码天平最多称几次可将坏球找出来
(典型例子：14个球最多称3次)

4. N 个球，其中有一个坏球与别的球重量不同，另有一个标准球，
问用无砝码天平最多称几次可将坏球找出来，并知其偏轻还是偏重
(典型例子：13个球最多称3次)

答案:
其实,这里最重要的问题是第1题,下面给出我的解法.(第1题，大致过程,解法是初等的)
命题:N(3^(k-)<2N<3^k)个球，其中有一个坏球与别的球重量不同，问用无砝码天平最多称几次可将坏
球找出来?答案是k次

证明:首先证明1.有两堆球,一堆有a个球,另一堆有b个球,其中有一个坏球,满足下面条件:
如果坏球在第一堆中,则此球比标准球轻,在第二堆中,则此球比标准球重,(a+b)<=3^k(a,b可为0),k次可将坏球找出来.并知其偏轻还是偏重.(归纳法)
再次证明2.N(3^(k-)+1<2N<=3^k+1)个球，其中有一个坏球与别的球重量不同，另有3^(k-1)个标准球,k次可将坏球找出来.(归纳法,需利用引理1)
证明:将N个球分成三堆N1, N2, N3,使N1+N2+N3=N, N1=N2, N3>=N1 并且N1,N2尽可能大;然后根据各种情况,交替利用引理1,2即可.(归纳法)

这上面只给出称球的解法.下给出必要性:
N(3^(k-)<2N<3^k)个球，其中有一个坏球与别的球重量不同，仅用无砝码天平不可能在k-1次内将坏球找出来?
仿上,证明:首先证明1.有两堆球,一堆有a个球,另一堆有b个球,其中有一个坏球,满足下面条件:如果坏球在第一堆中,则此球比标准球轻,在第二堆中,则此球比标准球重,3^k-1<(a+b)<=3^k(a,b可为0),仅用无砝码天平不可能在k-1次内将坏球找出来.(归纳法,加反证法,需利用引理1)
再次证明2.N(3^(k-)+1<2N<=3^k+1)个球，其中有一个坏球与别的球重量不同，另有任意个标准球,
仅用无砝码天平不可能在k-1次内将坏球找出来.(归纳法,加反证法)
证明:用天平称,只能将N个球分成三堆N1, N2, N3,使N1+N2+N3=N, N1=N2, 然后根据各种情况,交替利用引理1,2即可.(归纳法,加反证法)
其余的题在此题基础上都可以解答.

mathe,偶帖出来,没意见吧?:)

[birdflash]

to LeeMaRS(小菜虎_水壶的仇人):你的理论我没有看(因为有更详细具体的答案），但想必是对的，谢谢你！给你5分好吗？
to atlantis13579(更深的蓝)(_L_) ：太谢谢你了，你的方法太详细具体了，给你15分好吗？不过太少了，我不好意思。