对于一个有向图，不用拓扑排序，如何判断图中是否存在环？

[wqb1979]

清华研究生入学考试题

[love_aming]

还可以用深度优先遍历来实现

[wqb1979]

能具体说说吗？

[langhaixin]

判断一个有向图是否有连通分量
就可以判断是否有环了

求连通分量就是对一个有向图的遍历问题
可以用深度或是广度优先遍历来做！

[atlantis13579]

应该用图论的方程做

设这个图的邻接矩阵是A

则G不含环当且仅当A,A^2,A^3,.....,A^n这n个矩阵的对角元素都是0



原理如下:

G是有向图,A的第(i,j)个元素a(i,j)是vi到vj的长度为1的链的个数

A^2的(i,j)个元素
a2(i,j)=a(1,i)*a(i,1)+a(2,i)*a(i,2)+...+a(n,i)*a(i,n)

显然,vi到vj的每一条长度为2的链看成两条长度为1的链相连,所以共有

a(1,i)*a(i,1)+a(2,i)*a(i,2)+...+a(n,i)*a(i,n)条,就是a2(i,j)

同理可证,ak(i,j)表示vi到vj的长度为k的链的个数

特别地令i=j

ak(i,i)就是通过vi的长为k的环的个数

显然,若有n个顶点图G存在一个环,则必存在一个长度不超过n的环

因此,G不含环当且仅当A,A^2,A^3,.....,A^n这n个矩阵的对角元素都是0


例如一个图G={{1,2,3},{12,23,31}}

A=[0 1 0;0 0 1;1 0 0]

A^2=[0 0 1;1 0 0;0 1 0]

A^3=[1 0 0;0 1 0;0 0 1]的(1,1)元素不是0,表示G有一个通过v1的长为3的环

[wqb1979]

多谢两位的回答，结帖