怎样证明？空集是任何集合的子集

ly_ring 2002-07-20 08:16:08

怎样证明？空集是任何集合的子集

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dntq 2002-07-28

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atlantis13579的反证法是正确的

许野平 2002-07-28

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to jack4liang(屡败不败):
我把你的说法用经典的理论整理一下吧：
大数学家希尔伯特曾发起过著名的公理化运动，主要目的是为数学的所有分支建立严谨的公理体系。希尔伯特对公理体系提出了三点要求：
（1）完备性：公理必须充分多，以至于能够判定该领域内任何命题的真假；
（2）独立性：公理必须足够少，以至于公理之间不能互相推导；
（3）相容性：公理之间不能相互矛盾；
任何公里体系必须存在若干没有定义的概念，例如几何学里"点","直线","平面"的概念就是没有定义的.尽管没有定义,这些概念的特性还是受公里的约束的.例如:过两个不重合的点能且仅能做一条直线通过这两个点.两个平面相交其公共部分是一条直线等等.这些公理在一定程度保证了这些概念和我们的理解是一致的.
不幸的事,歌德尔定理告诉我们,任何一个公理系统"完备性"和"相容性"是不可能同时满足的.这一点非常类似量子物理学中的"测不准原理"

jack4liang 2002-07-28

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我再说一句吧，这个实际一定要有规则和定义。必须由简单到复杂，有具体到一般的思维过程，用定义去证明，当然必须假定这个定义是对的了，至今也没有发现那一本书对“定义”做过证明阿。

许野平 2002-07-28

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to wanbaocheng(www):
atlantis13579(更深的蓝)(^_^) 的证明没有错误，你有什么疑惑呢？

atlantis13579 2002-07-25

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没错的,完全由公理推出,集合（包含空集）及其子集的概念就够了

LeeMaRS 2002-07-25

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楼上说说看？我也想了解

wanbaocheng 2002-07-25

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如果只给出了集合（包含空集）及其子集的概念，好像推不出子集是任意集合的子集这个结论。若承认以上的前提，更深的蓝的论证是有问题的。大家可以再讨论讨论嘛，不要这样轻率下结论。

LeeMaRS 2002-07-25

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呵呵，我变一下atlantis的说法：

要证：空集是任何集合的子集
证明：假设不是，那么对于一个任意一个集合S来说，空集不是S的子集，则根据子集的定义(如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集)，在空集中必存在一个元素不属于集合S，这与空集不包含任何元素的定义是矛盾的。

jack4liang 2002-07-25

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一个体系里面必须有一个定义支持。请问为什么两点直线最短？
哥德尔定理讲得很清楚了，那天atlantis13579教我的。

jack4liang 2002-07-25

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一个体系里面必须有一个定义支持。请问为什么两点直线最短？
哥德尔定理讲得很清楚了，那天atlantis13579教我的。

jack4liang 2002-07-25

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假定一个集合A不是全集也不是空集
空集不属于集合A
则存在一个元素a,不属于A,却属于空集，与空集的定义矛盾。

则存在一个元素a,不属于A,却属于空集,为什么？不太懂。

cyPang 2002-07-25

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这是数学规定

ly_ring 2002-07-22

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谢谢各位

ly_ring 2002-07-22

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各位：
晚辈就是想证明一下。

许野平 2002-07-21

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"...完全是由定义可得..."不算证明？难道不从定义得出才算证明？

Arter 2002-07-21

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定义1：设子集A与B，若A的每一个元素都是B的元素，则称A是B的子集。
定义2：不含元素的集合称为空集。

1.空集是他本身的子集。
2.设有非空集A,空集不是A的子集,则存在元素a属于空集，而a不属于A，这与定义2矛盾。

说明：其实这一点不能算“证明”，完全是由定义可得！

ly_ring 2002-07-21

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我正在学离散数学

atlantis13579 2002-07-21

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楼上的错了,没有这条公理,也没必要加这条.

liem 2002-07-21

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这是集合论公理中所规定的。

ninny 2002-07-20

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if φ不是集合A的子集，则存在α∈φ且α不∈A,与φ的定义矛盾，证毕

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因为，（如果我们不知道∅是否属于S），若∅⊂S，则∀x∈∅且x∈S，因为∅不存在任何元素，所以无法证明（之所以是无法证明而非错误，是因为∀x∈∅是假命题，而x∈S不知道是真是假（注）），不过，反证法就是适用于证真不易，证伪容易的问题。在学习b站陈纪修陈老数学分析课程P2中，对于证明“空集是任何集合的子集”，陈老是这么说的（大概）：假设∀x∈∅，则x∈S；回归原题，若∅⊂S，则∀x∈∅且x∈S成立，因为∅中无任何元素，所以∀x∈∅为假命题，此时x∈S无论真假，∀x∈∅→x∈S均为真命题，因此可退出∅∈S。

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集合相等的条件：两个集合互为子集。集合幂集的元素数量：有限集合A有n个元素，则其幂集有2^n个元素。两个集合A和B相等的充分必要条件是A是B的子集并且B是A的子集。集合A的每一个元素都属于集合B。用逻辑表达式表示为：∀x(x∈A→x∈B)。集合B至少有一个元素不属于集合A。用逻辑表达式表示为：∃x(x∈B∧x∈/A)。换句话说，如果集合A的所有元素都在集合B中，并且集合B中至少有一个元素不在集合A中，那么集合A是集合B的真子集。空集：不包含任何元素的集合称为空集，通常记作 Ø 或者 O。表示。

这是一个很经典的问题，虽然看似是一个集合的问题，其实涉及到计数原理与二项式定理。下面给出这个问题的证明过程。由于公众号编辑文本不方便上下标，本文将部分编辑好的文档或公式转成了图片。证明：对于含有n个元素的集合A={a1，a2，……，an}，应有如下三种类型的子集：(1)空集。空集φ为任何集合的子集；由于空集又可以理解为由集合A中选取0个元素组成的集合，因此其个数为：(2)非空真子集。如果...

空集定义不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记作∅\emptyset 空集可以符号化为∅={x|x≠x}\emptyset=\{x|x\not=x\}举例设A={x|x∈R,x2<0}A=\{x|x\in R, x^2<0\}，则A=∅A=\emptyset |∅|=0,|{∅}|=1|\emptyset|=0, |\{\emptyset\}|=1 空集是绝对唯一的全集定义针对

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