虫子爬绳子

[耙子]

很喜欢这个论坛,但从来都是看,因为数学很差,特此借此题目学习/散分.

一根绳子长1m；
一个虫子从一头爬起,速度 0.01m/s；
绳子每秒钟均匀伸长1m；
假定虫子寿命足够长，并且绳子有足够的弹性、延展性；

请问，虫子能否爬到另一端，如果能需要多久？

请大家别用太高深的东西讲，当我是粗人，说点浅显的。

[saint001]

Very Interesting.
宇宙到底是按照那种方式膨胀不清楚,
应该比这两种都复杂的多,
但仅从数学的方式来推导模型,
也非常的有趣.

若膨胀的速率与距离的比值始终不变,
那么整个宇宙应是加速地在扩大,
从一维角度讲是不是应是指数增长,还没考虑;

而虫子模型则是宇宙整体是均匀扩大,
但对确定的两个物体之间的距离相离速率在逐渐减小.

另外从计算结果知:
前者的情形,
如果想从A到达B,
那不仅需要一个最小速度,
而且这个最小速度是与AB距离成正比.
于是为了可能到达更远的目标,
那就需要更大的速度.

后者的情形,
无论两地相距多么远,
哪怕是宇宙膨胀的尽头,
只要物体向着那个方向有个恒定速度,
那么从理论上讲,
总能达到那个尽头.

还有个问题是,
这两个一维的模型能否扩展到三维中去,
即能否建立起三维中的一个合理模型,
使它的每一个一维子模型都符合上述一维膨胀规律.

[saint001]

设虫子前面和后面的绳子长度分别为y 和 x
dx=0.01dt+x/(x+y)dt
dy=-0.01dt+y/(x+y)dt
x(0)=0
y(0)=1
解得
x=0.01(t+1)ln(t+1)
y=(t+1)(1-0.01ln(t+1))
令y=0，得
t=exp(100)-1

[saint001]

开始考虑这个问题时感到这与宇宙的膨胀模型很相似
解出结果后，很吃惊
想
如果宇宙在高速膨胀
那么无论膨胀速度多么快
无论物体P的运动速度多么小
P总能够从原始的端点A到达另一点B

后来一想，这两个模型有一个很大的不同是：
（我认为）宇宙的膨胀速度无论在什么时候总是和两点间的距离成正比的
即AB线段增长的速度在不断变大
而虫子的模型是AB增长速度恒定
于是在固定时刻，增长速度与距离成正比，但对于每个时刻，这个比值并不相同

[qiangqiang1112]

好好理解一下

[saint001]

讨论这个膨胀模型
设宇宙中任意距离d的膨胀的速率为kd
一物体P由A到B,速度为v

dy=-vdt+kydt
y(0)=s

解得
y(t)=(s-v/k)exp(kt)+v/k
因此
当v>ks时P才能到达B

[boodweb]

我们可以把虫子的速度映射到长为1m且长度不变的假想绳子上，由于绳子一直在伸长，而虫子速度不变，我们可以看成在假想绳子上，有一虫子，其速度不断减少。问题的关键就变成求任意时刻假想绳子上虫子的速度了，这不难得到：时间t时，绳子变成(1+t)米，假想绳子上虫子的速度就应该是1/(1+t)*0.01，于是设总共时间为T，从0到T对1/(1+t)*0.01积分的结果应该是1，解之得T=e^100-1

[boodweb]

我们可以把虫子的速度映射到长为1m且长度不变的假想绳子上，由于绳子一直在伸长，而虫子速度不变，我们可以看成在假想绳子上，有一虫子，其速度不断减少。问题的关键就变成求任意时刻假想绳子上虫子的速度了，这不难得到：时间t时，绳子变成(1+t)米，假想绳子上虫子的速度就应该是1/(1+t)*0.01，于是设总共时间为T，从0到T对1/(1+t)*0.01积分的结果应该是1，解之得T=e^100-1

[weya]

请问楼主，均匀伸长是什么概念？
当我是粗人（数学上我还真就是粗人），说点浅显的。

[wuyi8808]

当虫子是个质点，若它的爬行速度是零，当它静止在距起点为绳子总长度的q/p处时，若绳子均匀伸长，不管绳子伸长的速度是多少，它作为一个质点总是静止在距起点的q/p处。

先考虑绳子不动，虫子爬行1s，到了0.01m处，为总长的1/100，再考虑绳子均匀伸长1m/s，则虫子还是在总长的1/100处。也就是说不管绳子是均匀伸长还是均匀缩短，虫子在绳子上随着绳子的伸缩而伸缩，它1s总是爬行绳子总长度的1/100。所以用100s就可以爬到绳子的另一端了。

[耙子]

to:weya(文彦)
我们是粗人和粗人的对话，呵呵；这个概念正如 saint001(saint001) 所说的一样，不过这哥们说的绳子太伟大了！


to 空军：
我想你一定没仔细考虑，我这个文盲都能看出来你的错误。
虫子第二秒只能爬 全长的 1/200了，因为绳子变成了2米，而虫子的速度还是0.01m/s，而不是1/100。

[许野平]

设时间t(秒)时小虫爬行的距离为S=F(t)米,时间T时小虫爬到头,则:

F'(t) = 0.01 + F(t)/(t+1) ......(1)
F(0) = 0 ......(2)
F(T) = T+1 ......(3)

解得：
F(t) = 0.01*(x+1)*ln(x+1)
T = e^100 - 1(秒）

[许野平]

哈哈，粗略计算了一下
T=2.6881*10^43(秒)=8.5239*10^35年

[NowCan]

有意思。

[bambooman]

答案是:能
因为虫子第一秒爬１／１００，第二秒爬１／２００，第三秒爬１／３００，。。。，第Ｎ秒爬Ｎ／１００。
第Ｎ秒共爬了1/100 * (1+1/2+1/3+...+1/n).
而1+1/2+1/3+...+1/n 是个发散级数数列，故大于１００时可能的，也就是虫子能爬到头啦。当然，N的解可是很大啦。

[saint001]

上面的分析有问题
没有分析虫子前面的绳长增长情况
在n<<exp(100)-1时
前绳长的增长速度是非常快的

[tangdaqu]

原本看似简单的问题，原来如此的高深·！！

[suerain]

我的答案是:能

分析:假设虫子的起点是0%处,终点是100%处,某一时刻,假设虫子在绳子的5%处,这时候,即使虫子不动,它永远都在绳子的5%处,那么它再往前面爬一点,它在绳子的位置就大于5%了,这样,虫子爬啊爬啊就爬到100%了

如果大家觉得有道理就给点分吧,^_^

[耙子]

结帖子了！谢谢各位参与。

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[耙子]

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[xdspower]

绳子每秒钟均匀伸长1m是指绳子一直在伸长，还是在一秒结束时瞬间完成的（不计时间）？这样两个解应该是不同的。