求正解?计算阶乘n!末尾所含0的个数

[yanglilibaobao]

问题描述
给定参数n（n为正整数），请计算n的阶乘n！末尾所含有“0”的个数。
例如，5！=120，其末尾所含有的“0”的个数为1；10！= 3628800，其末尾所含有的“0”的个数为2；20！= 2432902008176640000，其末尾所含有的“0”的个数为4。

计算公式
这里先给出其计算公式，后面给出推导过程。
令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数，则有：
当0 < n < 5时，f(n!) = 0;
当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。

问题分析
显然，对于阶乘这个大数，我们不可能将其结果计算出来，再统计其末尾所含有的“0”的个数。所以必须从其数字特征进行分析。下面我们从因式分解的角度切入分析。

我们先考虑一般的情形。对于任意一个正整数，若对其进行因式分解，那么其末尾的“0”必可以分解为2*5。在这里，每一个“0”必然和一个因子“5”相对应。但请注意，一个数的因式分解中因子“5”不一定对应着一个“0”，因为还需要一个因子“2”，才能实现其一一对应。

我们再回到原先的问题。这里先给出一个结论：
结论1： 对于n的阶乘n！，其因式分解中，如果存在一个因子“5”，那么它必然对应着n！末尾的一个“0”。
下面对这个结论进行证明：
(1)当n < 5时, 结论显然成立。
(2)当n >= 5时，令n！= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a，其中 n = 5k + r (0 <= r <= 4)，a是一个不含因子“5”的整数。
对于序列5k, 5(k-1), ..., 10, 5中每一个数5i(1 <= i <= k)，都含有因子“5”，并且在区间(5(i-1),5i)(1 <= i <= k)内存在偶数，也就是说，a中存在一个因子“2”与5i相对应。即，这里的k个因子“5”与n！末尾的k个“0”一一对应。
我们进一步把n！表示为：n！= 5^k * k! * a（公式1），其中5^k表示5的k次方。很容易利用(1)和迭代法，得出结论1。

上面证明了n的阶乘n！末尾的“0”与n！的因式分解中的因子“5”是一一对应的。也就是说，计算n的阶乘n！末尾的“0”的个数，可以转换为计算其因式分解中“5”的个数。

令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数, g(x)表示正整数x的因式分解中因子“5”的个数，则利用上面的的结论1和公式1有：
f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k + g(k!) = k + f(k!)
所以，最终的计算公式为：
当0 < n < 5时，f(n!) = 0;
当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。

计算举例
f(5!) = 1 + f(1!) = 1
f(10!) = 2 + f(2!) = 2
f(20!) = 4 + f(4!) = 4
f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24
f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249
...


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[huashizhixin]

头疼，不想深入的思考！

[dazhuaye]

up~!
不错！~

[wonxlei]

路过~

[fan_0722]

学习一下！

[naotan]

学习

[ayw215]

似乎是去年，
这个问题在这里讨论过

[街坊跳舞]

支持下

[qihui_zhu]

.

[zhangheng00]

学习

[huashizhixin]

一个笨方法，先把阶层的结果算出来，再循环对１０取余，直到余数不为零．

[Lihongyang66]

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;

namespace test
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
int[] sushu = new int[] {2,5 };
int [] sNum=new int[2];

int num = 25;
int temp;

for (int i = 1; i <= num;i++ )
{
temp = i;
while (true)
{
if (temp % sushu[0] == 0)
{
sNum[0]++;
temp /= sushu[0];
}
else if (temp % sushu[1] == 0)
{
sNum[1]++;
temp /= sushu[1];
}
else
{
break;
}

}

}

long sum =1 ;

for (int i = 1; i <= num; i++)
{
sum *= i;

}

Console.WriteLine(sNum[0] + "个" + sushu[0] + " " + sNum[1] + "个" + sushu[1]+" sum:"+sum);


}
}
}

[Lihongyang66]

末尾0的个数确实是与因数5的个数相同，但是那是因为因数2的个数远超过5，所以5成了末尾0个数的制约，实际应该与（5，2）实数对一一对应

[Bill Adams]

也贴一个：

double sum = 0;
double CalcZero( double nValue ){return ( ( nValue < 5 ) ? 0 : ( sum += nValue / 5, CalcZero( nValue / 5 ) ) );}

[十八道胡同]

只要看的5的因子数就可以了

[YT158828]

#include <iostream>
using namespace std;
int fun(int);
int main()
{
int n,sum=0,count=0;
cin>>n;
sum=fun(n);
while(sum%10==0)
{
count++;
sum=sum/10;

}

cout<<count<<'\n';
return 0;
}
int fun(int n)
{
int c;
if(n==0||n==1) c=1;
else
{
c=n*fun(n-1);
}
return c;
}

[g315580086]

[Quote=引用 7 楼 mlee79 的回复:]
int pfz(int x) { int r=0; while(x/=5) r+=x; return r; }
[/Quote]
厉害

[jikeyuan1]

mark

[yyyangqqq]

#include <stdio.h>
void main()
{
int n, i, j, k;
int count, m;
scanf("%d",&m);

for(k=1; k<=m; k++)
{
scanf("%d",&n);
count = 0;
for(i=5; i<=n; i=i+5)
{
j = i;
while(j%5 == 0)
{
count++;
j /= 5;
}
}

printf("%d\n",count);
}
}


楼上给的比这个高效!值得学习!

[何人云端起舞]

比较搞笑，同时避免了计算阶乘，所以算法对于程序设计很重要啊。效率高，顶一个。

[sheepcorpse]

又是编程之美上面的东西,

要是有点自己的新想法就好了.