等幂和?

[northwolves]

6个不等自然数a,b,c,d,e,f满足:
a+b+c=d+e+f
a*a+b*b+c*c=d*d+e*e+f*f
求10000000内所有解,穷举肯定是不行的,有什么好的思路?

下面是比较经典的一组解(每组的前n位,后n位(n<=6)都满足此条件):

123789，561945，642864-----242868，323787，761943。

[fire_woods]

如果找到一组解,
假设是a,b,c, d,e,f

那么对任意的整数x,y

ax+by, bx+cy, cx+ay dx+ey, ex+fy, fx+dy
都是方程的解.
狠容易怎么的.

楼主的这个规律就可以用这个来解释.

[gxqcn]

对于楼主的问题，只要满足如下等式即可：a+f = b+e = c+d (每一对应位均满足)。

[wangwang1103]

mark

[rsp19801226]

人家是求全部解不是求部分解

[northwolves]

To fire_woods :

如果找到一组解,
假设是a,b,c, d,e,f

那么对任意的整数x,y

ax+by, bx+cy, cx+ay dx+ey, ex+fy, fx+dy
都是方程的解.
狠容易怎么的.

楼主的这个规律就可以用这个来解释.
------------------------------
非常感谢,有通解就好办了

[OnlyDi]

可以从几何角度考虑。x+y+z=k是平面，x*x+y*y+z*z=r*r是球面。二者相交得到一圆。
画一下图容易看出，平面被坐标平面截成一个正三角形。
x+y+z=k,k=1,..,1000000
x>=z
z>=y
x>=1,y>=1,z>=1

对每个k做满足上述条件的搜索。每搜出一个解，它的其余5个排列也是它的解。这六个排列的任意
两个是题设的解。
这个算法的时间效率是k*k*k

[mathe]

想到一个问题：

对于任何已知解<a,b,c;d,e,f>
那么必然有对于任何正整数x,y,z
<ax+by+cz,bx+cy+az,cx+ay+bz;dx+ey+fz,ex+fy+dz,fx+dy+ez>
也是一组解。（甚至，这里x,y,z中可以出现负数)
于是，对于任何三个正整数
u,v,w
我们知道
<u,v,w;u,w,v>
是一组平凡解
但是由它派生出来的解系列
<ux+vy+wz,vx+wy+uz,wx+uy+vz;ux+wy+vz,wx+vy+uz,vx+uy+wz>
不是平凡解。
问题是
是否对于任何一组解<a,b,c;d,e,f>
我们都可以找到一个平凡解<u,v,w;u,w,v>和x,y,z使得<a,b,c;d,e,f>是由这组平凡解派生