竞赛题

[hit56工作室]

[问题描述]
有一个箱子容量为v(正整数，o≤v≤20000)，同时有n个物品(o≤n≤30)，每个物品有一个体积 (正整数)。要求从m个物品中，任取若千个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。
[样例]
输入：
24 一个整数，表示箱子容量
6 一个整数，表示有n个物品
8 接下来n行，分别表示这n个物品的各自体积。
3
12
7
9
7
输出：
0 一个整数，表示箱子剩余空间。

[jeffrey_nupt]

OI吗?和2001年普及组第四题蛮像的……

可以用递归回溯解决啊……

[languagec]

装箱问题算法分析
装箱问题算法分析
作者：fisher_jiang 来源： 发表时间：2006-06-21 浏览次数： 1513 字号：大 中 小
装箱问题
[问题描述]
有一个箱子容量为V(正整数，0≤V≤20000），同时有n个物品（0≤n≤30),每个物品有一个体积（正整数）。要求从n个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。

[样例]

输入： 24 一个整数，表示箱子容量
6 一个整数，表示有n个物品
8 接下来n行，分别表示这n个物品的各自体积。
3
12
7
9
7

输出： 0 一个整数，表示箱子剩余空间

算法分析：
本题是经典问题：0-1背包的特殊例子（加强了已知条件）。用整形数组volume存储各件物品的体积，用布尔型函数h(i,k)表示前i个物品通过组合能否恰好装满容量k的空间，则考虑第i件物品，如果没有被选中，则问题转化为h(i-1,k);如果第i件物品被选中了，则问题转化为h(i-1,k-volume[i]),因此有如下的表达式：
h(i,k)=h(i-1,k-volume[i]) || h(i-1,k);

k从V开始递减，判断h(n,k)是否为真，第一个符号要求的k即为剩余空间最小时消耗的体积。
如果此时直接编写程序，就要定义一个二维数组，空间复杂度时n*v,注意到了n,v的取值范围很大，所以用二维数组存储就会有问题。


我们注意到，h(i,k)的取值仅与h(i-1,0)～h(i-1,k)有关，且如果h(i-1,k)=true,必然有h(i,k)=true,h(i,k)的值存在继承性，而程序结束时，我们也只关心h(n,k),因此，我们可以用一维数组h(k)来存储中间信息。为了避免重复计算，可以让k从大到小变化，为了避免出现负数，k的变化范围为v～volume[i].

示例程序：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int v,n;
int volume[31];//存储n件物品的体积
int h[20001];//h[i]=1,表示n件物品通过某种组合，所构成的体积和正和等于i;
//h[i]=0,表示n件物品无论如何组合，体积和都无法等于i
int main()
{
freopen("in.txt","r",stdin);
freopen("out.txt","w",stdout);
int v,n,i,j,k;
while(cin>>v>>n)
{
for(i=1;i<=n;i++)
cin>>volume[i];
memset(h,0,sizeof(h));
h[0]=1;
for(i=1;i<=n;i++)
for(k=v;k>=volume[i];k--)
h[k]=h[k]||h[k-volume[i]];
j=v;
while(j>0&&h[j]==0)
j--;
cout<<v-j<<endl;
}
return 0;
}