求最大值

northwolves 2007-08-11 06:03:04
20个锐角满足0<θ1<θ2<θ3<θ4<...<θ19<θ20=pi/3
求是s=cosθ1*sinθ1+cosθ2*(sinθ2-sinθ1)+cosθ3*(sinθ3-sinθ2)+cosθ4*(sinθ4-sinθ3)+...+cosθ20*(sinθ20-sinθ19)的最大值,此时各θ分别为多少?
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kaishui_gu 2007-09-04
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zgg___ ,这个问题应该跟“沙漠行车问题”类似吧?
zgg___ 2007-09-03
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解释一下递推公式的由来。
首先,极值一般出现在两种条件下,一是边界上,二是函数的拐点上。可以看到,这里是第二种情况。于是对所有的θ求偏导数,使它们都为0。拿θ3来作为例子,则:偏s/偏θ3=偏(cosθ1*sinθ1+cosθ2*(sinθ2-sinθ1)+cosθ3*(sinθ3-sinθ2)+cosθ4*(sinθ4-sinθ3)+...+cosθ20*(sinθ20-sinθ19))/偏θ3=cosθ3^2-cosθ3*cosθ4-sinθ3^2+sinθ3*sinθ2=0。对于单位园,cosθi=x[i],sinθi=y[i],所以有,x[3](x[3]-x[4])=y[3](y[3]-y[2]),同理之后,可得所说的递推关系。
wangwang1103 2007-09-02
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从0到60度的圆弧上找20个点,看起来好像是20个三角形的面积。
northwolves 2007-09-01
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To zgg___ :

设第i个点的坐标为(x[i], y[i]),这样,s极大的条件就是要各个点都满足递推关系:
x[i](x[i]-x[i+1])=y[i](y[i]-y[i-1])(i从1到19)。
--------------
如何证明此时S最大?
zgg___ 2007-08-15
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先怀疑一下有没有精确解,呵呵。

这个问题相当于在单位圆的从0到60度的圆弧上找20个点(最后一个点落在60度的位置上),从每个点向x和y轴做垂线就构成了20个矩形,设这20个矩形的并集的面积为s(有一点用锯齿逼近圆弧的意思),求这些点如何分布使得面积s最大?

设第i个点的坐标为(x[i], y[i]),这样,s极大的条件就是要各个点都满足递推关系:
x[i](x[i]-x[i+1])=y[i](y[i]-y[i-1])(i从1到19)。

通过数值计算可以求出这19个点坐标为:
{{0.994566, 0.104113}, {0.983667, 0.179999}, {0.969781, 0.243978},
{0.953685, 0.300808}, {0.935759, 0.352639}, {0.916227, 0.400659},
{0.895228, 0.445608}, {0.872855, 0.487980}, {0.849166, 0.528126},
{0.824198, 0.566302}, {0.797967, 0.602701}, {0.770476, 0.637469},
{0.741709, 0.670722}, {0.711639, 0.702545}, {0.680222, 0.733006},
{0.647398, 0.762152}, {0.613085, 0.790017}, {0.577179, 0.816617},
{0.539543, 0.841958}}
对应到seite(1-19)的度数为:
5.97604, 10.3697, 14.1215, 17.5062, 20.6488, 23.6194, 26.4622,
29.2079, 31.8789, 34.4927, 37.0636, 39.6034, 42.1228, 44.6316,
47.1390, 49.6543, 52.1871, 54.7476, 57.3474

可是它们19位的规律何在呢?
liujunyu 2007-08-14
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用Lingo试试
HBFBI 2007-08-12
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高难度呀!

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