求最大值

[northwolves]

20个锐角满足0<θ1<θ2<θ3<θ4<...<θ19<θ20=pi/3
求是s=cosθ1*sinθ1+cosθ2*(sinθ2-sinθ1)+cosθ3*(sinθ3-sinθ2)+cosθ4*(sinθ4-sinθ3)+...+cosθ20*(sinθ20-sinθ19)的最大值,此时各θ分别为多少?

[HBFBI]

高难度呀!

[liujunyu]

用Lingo试试

[zgg___]

先怀疑一下有没有精确解，呵呵。

这个问题相当于在单位圆的从0到60度的圆弧上找20个点（最后一个点落在60度的位置上），从每个点向x和y轴做垂线就构成了20个矩形，设这20个矩形的并集的面积为s（有一点用锯齿逼近圆弧的意思），求这些点如何分布使得面积s最大？

设第i个点的坐标为(x[i], y[i])，这样，s极大的条件就是要各个点都满足递推关系：
x[i](x[i]-x[i+1])=y[i](y[i]-y[i-1])（i从1到19）。

通过数值计算可以求出这19个点坐标为：
{{0.994566, 0.104113}, {0.983667, 0.179999}, {0.969781, 0.243978},
{0.953685, 0.300808}, {0.935759, 0.352639}, {0.916227, 0.400659},
{0.895228, 0.445608}, {0.872855, 0.487980}, {0.849166, 0.528126},
{0.824198, 0.566302}, {0.797967, 0.602701}, {0.770476, 0.637469},
{0.741709, 0.670722}, {0.711639, 0.702545}, {0.680222, 0.733006},
{0.647398, 0.762152}, {0.613085, 0.790017}, {0.577179, 0.816617},
{0.539543, 0.841958}}
对应到seite（1-19）的度数为：
5.97604, 10.3697, 14.1215, 17.5062, 20.6488, 23.6194, 26.4622,
29.2079, 31.8789, 34.4927, 37.0636, 39.6034, 42.1228, 44.6316,
47.1390, 49.6543, 52.1871, 54.7476, 57.3474

可是它们19位的规律何在呢？

[northwolves]

To zgg___ :

设第i个点的坐标为(x[i], y[i])，这样，s极大的条件就是要各个点都满足递推关系：
x[i](x[i]-x[i+1])=y[i](y[i]-y[i-1])（i从1到19）。
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如何证明此时S最大?

[wangwang1103]

从0到60度的圆弧上找20个点,看起来好像是20个三角形的面积。

[zgg___]

解释一下递推公式的由来。
首先，极值一般出现在两种条件下，一是边界上，二是函数的拐点上。可以看到，这里是第二种情况。于是对所有的θ求偏导数，使它们都为0。拿θ3来作为例子，则：偏s/偏θ3=偏(cosθ1*sinθ1+cosθ2*(sinθ2-sinθ1)+cosθ3*(sinθ3-sinθ2)+cosθ4*(sinθ4-sinθ3)+...+cosθ20*(sinθ20-sinθ19))/偏θ3=cosθ3^2-cosθ3*cosθ4-sinθ3^2+sinθ3*sinθ2=0。对于单位园，cosθi=x[i]，sinθi=y[i]，所以有，x[3](x[3]-x[4])=y[3](y[3]-y[2])，同理之后，可得所说的递推关系。

[kaishui_gu]

zgg___ ，这个问题应该跟“沙漠行车问题”类似吧？