一道数列题

[yunmengll]

Description

一个这样的一个实数数列:
1、这个数列共有N项；
2、这个数列的第i项等于第i-1减去第i+1项的差，再除以2,最后加上一个常数。
请你通过编程来计算这个数列的第m项。




Input

从键盘上输入两行数：
第一行输入N(表示这个数列共有多少项，其中 N<60);
第二行输入常数d,你要求的这个数列的第m项,以及这个数列的首项a[1]的值和最后一项a[N]的值.输入数据均不需判错.


Output

输出这个数列的第m项的数据。结果保留整数(用 int() 强制转换)。

[Vitin]

laiwusheng(风清扬)的方法也很好，学习。

[zxwl]

laiwusheng(风清扬) ( )的思路比较赞，但我觉得还是有问题的
（鸡蛋、柿子朝我扔吧。。。。。。）

他的想法，认为：所有的S[m]只与m有关。这是不对的。
实际上S[m]=a[1]+(a[1]-a[m])/2+(m-2)d+a[m]//此结果不仅与m有关，还与a[m]有关
而他的特殊之处只不过是求的S[N]，而只有a[N]是已知的而已！
所以用S[m]之差表示a[m]是不可取的。




PS：另外这个S[m]的通项公式要对m=1,m=2等特殊值，特殊归纳才对

[zxwl]

deng2000() ( ) 的方法 赞！

学数列的时候这种好像叫做"比差数列"吧

[laiwusheng]

Oh! n,N混淆了，全当我没说，错了！

[laiwusheng]

据上推出：
S[n]=a[1]+(a[1]+a[n])/2+(n-2)*d//a[n]待求，a[1]已知

S[2]=a[1]+a[2]=a[1]+(a[1]+a[2])/2+0*d ==>a[2]=a[1]
S[3]=[1]+a[2]+a[3]=a[1]+(a[1]+a[3])/2+(3-2)*d ==>a[3]=-a[1]+2d
S[4]=... ==>a[4]=a[1]
...
依次迭代下去.

[laiwusheng]

还是错了，不说了

[Vitin]

我觉得 laiwusheng(风清扬) 的方法可以。

1、通过 a[1] 和 a[N] 求出 S[N] 。
2、用递推式 S[i] = S[i+1] - a[i+1] , i < N
3、再用公式 S[i]=a[1]+(a[1]-a[i])/2+(i-2)d+a[i] 求出 a[i]

循环2、3两步，直到计算出 a[m].

[laiwusheng]

我下去也笔验了一下，证明通过！
S[n]=a[1]+(a[1]+a[n])/2+(n-2)*d
此表达式可由
a[2]=(a[1]-a[2])/2+d
a[3]=(a[2]-a[3])/2+d
.
.
.
a[n-1]=(a[n-2]-a[n])/2+d
得到，似乎用不着a[N]这个条件

[Vitin]

之前我的方案写错递推式了，现在更正一下：

正确的递推式是： a[i+2] = -2*a[i+1] + 2*d + a[i]
现在 a[1]，d 都是已知的，只要知道a[2]其实就可以计算出a[m]了。
可以用 a[N]列个方程计算a[2]。

由递推式可知，a[i] 是 a[2] 的一次方程。如：
a[3] = -2*a[2] + 2d + a[1]
a[4] = -2*a[3] + 2d + a[2] = 5*a[2] - 2d - 2*a[1]
......
因此，可以令 a[i] = x[i]*a[2] + y[i]
递推计算出每个x[i]和y[i]。 然后对
a[N] = x[N]*a[2] + y[N]，通过a[N]计算出a[2]，再从
a[m] = x[m]*a[2] + y[m]，计算出a[m]。

其中，可由递推式得到x,y的通项公式：
x[1] = 0, y[1] = a[1], x[2] = 1, y[2] = 0
x[i+2] = -2*x[i+1] + x[i], i >= 1
y[i+2] = -2*y[i+1] + 2d + y[i], i >= 1

现在，就有三种方案了：特征值法，求和法（用S[n]），一次方程法（x*a[2] + y）.
呵呵，期待更多的方案。

[tl0352118]

搞得我这个喜欢数学的都不喜欢数学了

[laiwusheng]

a[2]=(a[1]-a[2])/2+d
a[3]=(a[2]-a[3])/2+d
.
.
.
a[N-1]=(a[N-2]-a[N])/2+d

==>S[n]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[N-1]+a[N]
=a[1]+(a[1]-a[N])/2+(N-2)d+a[N]//此结果与n有关


a[1]=S[1]
a[2]=S[2]-S[1]
.
.
.
a[m]]=S[m]-S[m-1]

[virusswb]

肯定是递归了
a[i]=(a[i-1]-a[i+1])/2+CONST

你要知道a[0],a[1],a[2]三个才可以计算的

[deng2000]

From: tl0352118
搞得我这个喜欢数学的都不喜欢数学了
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罪过罪过.是不是因为我的推导有些难以理解?如果这样的话,让我重述一下思路以将功赎罪.
题为: 若
a[i+1] + 2a[i] - a[i-1] = 2d
求a[i]的通项.
假设我们只有高中数学知识,关于数列只知道等差数列和等比数列的通项公式(而不知所谓的特征方
程为何物),让我们看看如何下手.
人们在遇到陌生事物时首先的想法就是把它与熟悉的事物对比.因此对此题而言,一个自然的思路就
是把a[i]通过某种变换转为我们熟悉的等差数列或等比数列.从直觉看变成等差数列可能性不大,那
就让我们从等比数列着手吧.
首先,等式右边的2d看着不顺眼,让我们想办法把它变成0
试令a[i] = b[i] + s, s是一个常数,则有
b[i+1] + 2b[i] - b[i-1] = 2d-2s
OK! 让s=d,右边就就为0了. 下一步任务是求b[i]的通项公式,b[i]满足:
b[i+1] + 2b[i] - b[i-1] = 0 ----------------- (1)
能把上式变成一个等比数列条件,如 c[i+1] = q*c[i] 吗?
一个比较可行的想法是下式:
b[i+1] + m*b[i] = k * (b[i] + m*b[i-1]) ---------------- (2)
其中m和k为常数. 这是一个等比数列条件式(对于数列c[i] = b[i] + m*b[i-1]),通过设m和k的值
有没有可能把(1)变成(2)呢?
其实到这一步后,解决问题就没有什么困难了.
(2)等价于
b[i+1] + (m-k)b[i] - k*m*b[i-1] = 0
和(1)相比,只需
m-k = 2
k*m = 1 --------------------- (3)
这是一个很简单的二元二次方程组,初中生都知道其解法.
解出m和k后,由(2)我们就知道
b[i+1] + m*b[i] = (b[2]+m*b[1]) * k^(i-1) --------------(4)
等等,有人会问,由(4)我们只知道b[i+1]+m*b[i]的通项,可还是不知道b[i]的通项呀?
实际上,(3)作为(判别式大于0)的二次方程有两个解.因此(4)实际上有两个等式.肖去其中的b[i+1]
就得到b[i]通项了.

最后插句题外话,(3)肖去m后得到
k*k + 2*k -1 = 0
这正是前面提到的特征方程.真是殊途同归.

[deng2000]

试用iatsbg提到的特征根法算一下a[i]的通项公式
由题意
a[i] = (a[i-1] - a[i+1])/2 + d
因此
a[i+1] + 2a[i] - a[i-1] = 2d
故 a[i+1]-d + 2(a[i]-d) - (a[i-1)-d) = 0
令 b[i] = a[i]-d
则 b[i+1] + 2b[i] - b[i-1] = 0 (1)
(1)表明数列b[i]是个二阶齐次递推数列.因其特征方程
x^2 + 2x -1 = 0
有两个根 -1+sqrt(2) 与 -1-sqlrt(2)
因此b[i]的通项公式为
b[i] = p*(-1+sqrt(2))^i + q*(-1-sqlrt(2))^i
其中p与q为待定系数
因为a[i]=b[i]+d, 我们得到a[i]的通项公式如下:

a[i] = p*(-1+sqrt(2))^i + q*(-1-sqlrt(2))^i + d

利用边值条件(a[1]与a[N]的值)可算出p与q的值

[Vitin]

晕，今天才发现，题目看错了。

通项公式应该是：
a[i+2] = -2*a[i+1] + 2d + a[i]

不过方法没有错，可以用这个通项公式结合之前的方法得出正确的答案。

另外，特征根法是比较专业的方法，赞一个！

[yunmengll]

谢谢各位的的帮忙了.

[yunmengll]

用特征值法解出来的p和q怎么可以是任意的啊?

[yunmengll]

解错了．．．

[itegel84]

下班看看，好久没来CSDN了

[DLMU_net]

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