贴一道简单一些的数学题

[duz]

Consider an n * n square board, where n is a fixed
even positive integer. The board is divided into
n^2 unit squares. We say that two different squares on
the board are adjacent if they have a common side.

N unit squares on the board are marked in such a way
that every square (marked or unmarked) on the board is
adjacent to at least one marked square.

Determine the smallest possible value of N.

[fish_autumn]

继续关注

[RedGuest]

这样看，*必须至少两个在一起，我们考虑最基本的情况，两个一起时，可以控制3*4的一个区域
oooo
o**o
oooo
这样，显然是最经济实惠的：）(这点应该容易证明，用数学归纳法吧，懒的再想了，呵呵），所以，如果n%（3*4）==0，那这时候，N一定是最小的。
就是N = n*n/(3*4)*2

[RedGuest]

题目的意思我仍然有些迷糊，是不是求关于每个n的大N的最小值？
那样的话，真的有很多麻烦…………哈哈
想出来了也没有用，何况想不出来，睡觉去了…………zzzzzzz

[sietlkj]

最小极限值是N=n*n/4，且当n为无穷大时N取此值，其他均大于n*n/4。
to duz: 极限值是否正确？若不正确，小弟的算法将找不到理论依据，小弟只好投降了。

[fish_autumn]

to RedGuest(Haha)　
你的四个角是不是没有照顾到啊？

[clavy]

最小极限应该是 n*n/5。
这个问题相当与用
O
O X O
O
这样的十字板覆盖一个区域的问题。

[yrs]

clavy的想法和我不谋而合，
但极限值我认为应该是n*n/4,和sietlkj握手 :)
for example:
while n=5
00*00
*000*
00*00
*000*
00*00
any1 can make it better?

[starfish]

这个问题可以转化为图论的极小支配集问题。具体方法如下：
将每个格子u 看作两个结点 u 和 u'， u和u'分别与该格子相邻的周围四个格子所拆分成的8个节点相邻，比如对于下面的情况，

.........(x,y-1))
............|
(x-1,y)--(x,y)--(x+1,y)
............|
.........(x,y+1))

格子(x,y)与周围四个各自相邻，将其拆成两个顶点(x,y)和(x,y)'，周围的四个格子也分别拆成两个顶点，则(x,y)和(x,y)'分别与周围的8个顶点（x-1,y),（x-1,y)',（x,y-1),（x,y-1)',（x+1,y),（x+1,y)',（x,y+1),（x,y+1)'相邻；

这样将网格转化成了一个无向图，原来的问题也转化成了，求该图的最小支配集的元素个数。如果问题是“求最小的N使得可以markN个方格后使所有unmark的格子都至少同一个mark的格子相邻”，则用不着将一个格子拆成两个节点，直接将原来的网格根据邻接关系转化为图求最小支配集就可以了，那样更简单一点。

求最小支配集有个很简单的公式：

φ(V1,V2,……,Vn) = ∏(Vi+∑u)， 其中i=1,2,...n, u∈N(Vi)，N(Vi)表示和Vi相邻的节点集合。

这里的加法和乘法是逻辑加法和乘法，满足以下性质：
（1）交换律：X+Y=Y+X, XY=YX
（2）结合律：(X+Y)+Z=X+(Y+Z), (XY)Z=X(YZ)
（3）分配律：X(Y+Z)=XY+XZ, (Y+Z)X=XY+XZ
（4）吸收律：X+X=X,XX=X,X+XY=X

例如，求下图的最小支配集：
.....V2.........V5
..../..\......./.|
.../....\...../..|
../......\.../...|
./........\./....|
V1--------V4.....|
.\......../.\....|
..\....../...\...|
...\..../.....\..|
....\../.......\.|
.....V3.........V6

计算过程为：

φ(V1,V2,V3,V4,V5,V6)
=(V1+V2+V3+V4)(V2+V1+V4)(V3+V1+V4)(V4+V1+V2+V3+V5+V6)(V5+V4+V6)(V6+V4+V5)
=V1V5+V1V6+V4+V2V3V5+V2V3V6

所以上图中有支配集{V1,V5|、{V1,V6}、{V4}、{V2,V3,V5}、{V2,V3,V6}
其中极小支配集为{V4}，也就是说，控制了V4就可以控制其他各点。


这样我们只要求原来的网格构造成的图的极小支配集就可以了。
但是这个方法不太好，需要编程来解决，似乎不像是数学竞赛的正确解答，因为这个图是从一个网格构造而来，每个节点只有8个度，所以应该有更简单的方法。

[fish_autumn]

yrs(月如霜)：对clavy说法我保留意见，但你的*周围没有*与原题不符，应该归在扩充里
[回复人：duz()　(2001-6-20 19:26:00) 得0分
如果解决了这个问题，还可以继续考虑一个非常类似的问题，即最小的N使得可以markN个方格后使所有unmark的格子都至少同一个mark的格子相邻。 ]

[fish_autumn]

天啊，这么复杂？

[laozi]

有一点儿眉目了。
n*n的square，第一行不动，第二行全marked。剩下(n-3)*n；
以n为列，n-3为行，第一行不动，第二行全marked，剩下（n-3)*(n-3);
(n-3)*(n-3)的square，第一行不动，第二行全marked，剩下(n-6)*(n-3);
...
若最后没有剩余的行，则完成，若只剩一行，列必为4，mark当中两个即可,若只剩两行，列必为5，mark第二，第四列即可。
总结一下
n mod 3==0:N=n^2/3
n mod 3==1:N=(n-1)*(n+4)/6+(n-4)*(n+1)/6+2=(n^2+2)/3
n mod 3==2:N=(n-2)*(n+5)/6+(n-5)*(n+2)/6+4=(n^2+2)/3

[laozi]

对不起有误，应是以n-3为列，n为行

[laozi]

duz怎么不回话，我的答案到底正确吗？
我给个证明，采用分治法。
2*2和3*3时，不用想，我的答案是正确的，mark方式也没问题。
当n>3时，把square board分成3*n和(n-3)*n,对3*n寻找最佳方案，以3为行，n为列，从第二行开始，空第一个square，mark第二个，然后每隔两个square，mark一个square，显然最佳方案一定包含这些marked square，因为每个marked square都充分利用(最后一个不一定，但也没办法),然后进行满足条件地mark，分析第一列的第一个和第三个square以及第三列的第一个和第三个square，要满足条件，有两种做法，mark第二行第一个和第三个或mark第二列第一和第三个，现在还不能肯定两种方法孰优孰劣。实际上只要n mod 3==0，两种方法等效，都mark了n个square，但当n mod 3!=0时，最后几列只能采用第二种方法，然后为了mark的square最少，就会产生连锁反应，导致第二行统统mark.接下的依此类推，就得出答案了。

[RedGuest]

太复杂啊~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
要死人了~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
你们都是些什么人，学数学的还是计算机的~~~~~~~~~~~~~~~~~~

[starfish]

肚子的id用不了了，所以他让我帮他把问题的解答贴出来，下面是他的原信：

The answer for 7*7 squares should be 15. And I found the best posted in csdn is only 16. The solution for 7*7 is

0**00*0
00000*0
*00*000
*00*00*
000*00*
0*00000
0*00**0

And the answer is
(n*n+2*n)/4 when n is even
(n*n+2*n+1)/4 while n=1mod4
(n*n+2*n-3)/4 while n=3mod4

and i think i should give the clue about how to prove it is the best value.
For example, to prove 3 is best for 3*3 squares,
first we give
000
***
000
to prove exists a 3 solution for 3*3 squares.
then graph
00@
000
@@0
here no block marked will @ share common neighbor. For there's 3 @, so to overlap them, we need at least 3 marks.

[starfish]

上次我说的算法可能不太清楚，我再解释一下我的算法：

如果将2x2的格子按如下方式标号：
1 2
3 4

构造的图的邻接关系如下：
和1相邻的有： 2, 2',3,3'
和1'相邻的有：2, 2',3,3'
和2相邻的有： 1, 1',4,4'
和2'相邻的有：1, 1',4,4'
和3相邻的有： 1, 1',4,4'
和3'相邻的有：1, 1',4,4'
和4相邻的有： 2, 2',3,3'
和4'相邻的有：2, 2',3,3'
最小支配集有多个，其中一个是{1,2}，还有{1',2},{1',2'},{1,2'},{1,3},etc

不可能做出来{1,3}，因为点1'没有被{1，3}支配，所以{1，3}根本就不是合法的支配集。为了能够使得每一个格子都和被mark的格子相邻（包括被mark的格子也要和其他的被mark的格子相邻），我将一个格子拆成两个格子，分别和周围的格子相邻；虽然求最小支配集的时候在支配集中的点p并不一定被支配集中的其它点支配，但是由于点p有一个镜像点p'，其镜像点p'一定会被支配集中的其它点所支配，而p和p'的邻接关系完全相同，所以p也一定会被支配集中的其它点支配。因此这种算法可以求出来的解是正确的。

如果题目改变一下，要求所有没有被mark的格子都和被mark的格子相邻，则更简单一点，不必将每个点拆成两个，直接求支配集就可以了。

这种方法比较麻烦一点，但是具有通用性；而且，我认为肚子给出的那三个公式也可以用这种方法推导出来；因为每个点都和周围的8各点相邻，所以只要展开最小支配集计算公式应该就可以推出你给出的公式来，不过那个多项式展开也比较麻烦。

[fish_autumn]

呵呵,天啊

[Arter]

等几天晚上！

[yrs]

谢谢，我明白了 :)

[fish_autumn]

我还不太明白，好好想想