mytiger（）的问题解决了，再来一道概率的问题吧（我一直很困惑的）

[fish_autumn]

每本概率课本上都有，但我不明白。
（贝特朗奇论）做一个圆的任意弦，求弦长度大于圆内接三角形边长的概率。
书中给了三种答案，说每种都有道理。
我本来以为实际上每种随机事件都应该有固定的概率，不可能既是1/4,又是1/3,又是其他结果。请高手指点一二：
先谢大家了。

[fish_autumn]

以上有一个小错误：
第二种：在圆上任取一点，每条弦都可以沿顺时针，逆时针两个方向使弦的一个端点，与该点重合。以该点为一顶点作圆内接三角形，点落在三角形该顶点对边所对应的－－－（弧）上时，弦长大于三角形边长。概率为1/3。
是我说的不够清楚吗？同一种情况的随机时间可能有不同的概率吗？

[duz]

我可以给你举个例子，比如说，现在要求
给定一条长度一定的小木棒，随意将其折成两条小棒，问起中一条至少是另一条两倍的概率是多大？
其实这种题目根本无法求解，因为其概率决定于你到底是怎么去折这条木棒的，不同的人去折这木棒，得到的概率可能都不一样，比如有些人总是喜好将两条小木棒的长度相差不大，那么上面的问题的概率就很小了。
于是你可能会说，我可以给上一个约束条件呀，比如均匀的去折这条木棒。
不过均匀这个词本身就是一个不确定的概念。对于木棒这样只有一维的东东，对于均匀大家的理解还会基本上比较一致的。如果到了二维以上，那么这个概念就比较模糊了，比如我现在说要求从平面上均匀的取一条直线，那么对这句话你会如何理解呢？我们可以认为，直线在解析几何中可以由方程ax+by=c来决定，那么直线的均匀可以认为是参数(a,b,c)在三维空间中均匀任意取值获得的直线，但是，直线也可以由它到原点的距离和它的方向来表示，于是，我们还可以认为是（d,theta)的均匀分布来决定。这两种概念得到的结果是完全不同的。为了能够让大家更好的理解不同的参数对所谓均匀的概念的理解，我们可以考虑直线的另一类参数方程形式，实际上直线的参数方程还可以表示为a*(x+y)+b*(y+1)=c;好了，如果现在我们认为这时的(a,b,c)均匀代表直线的分布是均匀的，那我们明显可以看出，这是的结果和第一中表示会完全不同。

[fish_autumn]

有点明白了，但是如果规定任意两条直线出现的概率相同，可以得到唯一的结果吗？

[fish_autumn]

换句话说，能做到任意两条直线出现的概率相同吗？

[fish_autumn]

我看只能是这样了。

[duz]

这里最主要的问题就在也，我们说任意两条直线出现的概率相同，到底是什么意思，这并不是严格意义上的数学定义。
一般来说，我们说某些东西它们是等概率的，比如平面上所有的点等概率出现，可以这样说是因为，所有这些点总和正好构成这个平面，而这个平面又非常幸运，已经存在了一种测度（这时严格意义上的名称），我们称其为面积。我们说概率相等是因为我们已经拿这个面积来做比较了，也就是说，我们认为相同面积中的点出现的概率是一样的。
好了，现在回到两条直线上，我们就可以看出问题了。平面上所有直线组成的集合是什么？我们无法形象的来观察，同样，我们在这些又所有的直线所组成的集合上，更加没有我们预定义的测度，更加别说非常形象，大家都公认的测度了。
其实问题的本质在于自然语言本身是模糊的，不确定的

[fish_autumn]

我觉得可以这样说，不知对不对。看起来弦的作法不同，答案就不一样。
我任作两条半径，弦长取决于第二点位置，答案是1/3。
我任选一点作弦的中点，弦长取决于点的位置，答案是1/4。
我任选一个角度，再任选一个半径（<=r)（这样确定一个点），弦长取决于半径，答案是1/2。

[fish_autumn]

这次我想我听懂了，也明白了。
但我记得概率课讲过一个“蒲丰针问题”在一个平面上画有间距为a（a>0)的平行线，向平面投掷一长l（0<l<a)的针，这个概率却是可求的。这之间有什么区别吗？

[kookoo]

你最好还是把三种答案都贴出来，总不至于让大家都去翻书吧……

[fish_autumn]

设圆的半径为r，则内接三角形的边长为sqrt(3）*r
第一种：每条弦（的中点）和圆内没一点是对应的，点落在半径为r/2的圆（即等边三角形内接圆）内时弦长大于三角形边长。而任意点落在小圆内概率为（小圆面积/大圆面积）1/4。
第二种：在圆上任取一点，每条弦都可以沿顺时针，逆时针两个方向使弦的一个端点，与该点重合。以该点为一顶点作圆内接三角形，点落在三角形该顶点对边所对应的弦上时，弦长大于三角形边长。概率为1/3。
第三种：作圆一条直径，每条弦通过旋转都可以使中点落在该直径上。中点落在（-r/2，r/2)内弦长大于三角形边长，概率为1/2。
凭印象写的，仅供参考。