证明：PI*PI/6 = 1+1/(2*2)+1/(3*3)+......+1/(n*n) n趋向无穷大

[ychener]

[ychener]

PI ＝ 圆周率

[eagle_canfly]

1+1/(2*2)+1/(3*3)+......+1/(n*n)=1/(1-x^2){x属于1...+oo}
因为 1/1-x=1+1/2+......+1/n*n;
原式=[积分（1/（1-X^2))]'=[(ln|x+1|/|x-1|)/2]'=PI*PI/6;

[ychener]

不懂，不过我兄弟用别的方法帮我搞定了

[Arter]

你要Euler的解法吗？

[ychener]

我的兄第是用傅立叶级数帮我搞定了，
证明使用到 F(x) = x*x 在[-PI,PI]之间的傅立叶级数展开

至于那个Euler的解法，我想要可以发到我信箱[e-mail]也可以贴出来大家研究研究：）

[Arter]

1.伯努利多项式：
φn(x)=x^n-n*x^(n-1)/2+C(n,2)*B1*x^(n-2)-C(n,4)*B2*X^(n-4)+...+... (1)
其中，伯努利数B1,B2...由
1/(e^z-1)=(1/z-1/2)+ sum{(-1)^(n-1)*Bn/(2n)!*z^(2n-1)}(for n=1 to ∞) 给出！ (2)
2．当0<=x<=1时(k>=1)，
φ2k(x)=(-1)^(k+1)*2*(2k)!* sum{cos(2n*pi*x)/(2n*pi)^(2k)}(for n=1 to ∞). (3)
求解过程由傅立叶级数作出。
φ2k(x)的an=(-1)^(k+1)*2*(2k)!/(2*pi*n)^(2k), bn=0
a0=0;
3．在（2）中令x=0得ζ(2k)=1+1/2^(2k)+1/3^(2*k)+…+=2^(2k-1)*Bk*pi^(2k)/(2k)! (4)
4．ζ(2)=pi^2/(2*3), ζ(4)=pi^4/(2*3^2*5), ζ(6)=pi^6/(3^3*5*7).…
注：1）以上是另一方法。
2）Euler的思想：
sin(1/x)=1/x-1/(x^3*3!)+1/(x^5*5!)+…+…=0的根为
1*pi,2*pi,…,n*pi,…
-pi,-2*pi,…,-n*pi,….
用韦达公式：
x1^2+x2^2+…+xn^2+…=(x1+x2+…+xn)^2-2(x1*x2+x1*x3+…+xn-1*xn)
=0^2-2*(-1/3!)=1/3
所以，2（pi^2+(2*pi)^2+…+(n*pi)^2+…）=1/3
即：PI*PI/6 = 1+1/(2*2)+1/(3*3)+......+1/(n*n). （Euler首先给出！）
虽然不严谨，但非常巧妙！

[ychener]

厉害！