一道高数证明题，导数的，在线等待

[xyj19820205]

设f(x)在[0,+ ∞]上三阶可导,lim(x->+∞)f(x)存在,lim(x->+∞)f’’’(x)=0,试证明lim(x->+∞)f’(x)=lim(x->+∞)f’’(x)=0.
备注：lim(x→u)f(x) 表示 f(x) 的 x 趋向 u 时的极限,
如果f(x)是有结构式，f(x)应外引括号

[arong1234]

这个题目其实只要两个条件即可：f'''存在，且lim(x->+∝）f(x)存在

我们先证明一个一般性的命题，假定f''(x)存在，f(x)趋于无穷大的极限存在，则f'(x)区域0

因为f''(x)存在，f'(x)连续

假定f'(x)不趋于0，则意味着任意一个给定的正实数e，总存在一个x=a, |f'(a)| > e（否则根据定义f'(x)趋于0）

那么根据连续性，在x=a的某个邻域内（a-e',a+e'），f'(x) > e/2总是成立

由于根据拉个朗日定理，f(b) = f(a) + (b-a)f'(a')，其中a'为（a-e',a+e'）中的一个点
因此|f(b)-f(a) | = (b-a)|f'(a')| >=(b-a)e/2

这样证明了f(x)不可能收敛

反证法证明了在f''(x)存在和f(x)收敛两个条件同时满足条件下，f'(x)必然趋于0

那么f''(x)趋于0可以用f'(x)收敛和f'''(x)同样证明