一道二元函数微分的小题，毫无头绪，在线等

[cg_2004]

下列哪一个条件成立时能够推出f(x,y)在点(x0,y0)可微，且全微分df=0?（）
A， 在点(x0,y0)两个偏导数f’x=0,f’y=0
B， f(x,y)在点(x0,y0)的全增量△f=△x△y/(△x^2+△y^2)^(1/2)
C， f(x,y)在点(x0,y0)的全增量△f=sin(△x^2+△y^2)/( △x^2+△y^2)^(1/2)
D， f(x,y)在点(x0,y0)的全增量△f=(△x^2+△y^2)sin[1/(△x^2+△y^2)]

[bigc2000]

D 吧。sin[1/(△x^2+△y^2)] 是个有界函数

=(△x^2+△y^2） 是个二次无穷小量

[cg_2004]

正确答案是D，但是我不明白的是A，B，C为什么不是的呢？

[AngkorAlone]

我的解答是 C
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C 等价于 sqrt[dx^2 + dy^2]
A 需要添加一个偏导数连续
B 典型的一个不可微函数，绝大多数高等数学书都会提
D sin()那个函数在自变量趋于无穷时是没有极限的

[AngkorAlone]

这种问题最好到高等数学的网站/板块去问

[arong1234]

A， 在点(x0,y0)两个偏导数f’x=0,f’y=0
保证在x,y轴微分为0，不满足“全路径”可微条件

B， f(x,y)在点(x0,y0)的全增量△f=△x△y/(△x^2+△y^2)^(1/2)
当△x△y趋于0时，不能保证△x△y/(△x^2+△y^2)^(1/2) 收敛

C， f(x,y)在点(x0,y0)的全增量△f=sin(△x^2+△y^2)/( △x^2+△y^2)^(1/2)
△f=(△x^2+△y^2)/( △x^2+△y^2)^(1/2) =( △x^2+△y^2)^(1/2)
df/dx = (1+dy^2)^(1/2) x轴收敛于1 ，同理y轴也如此，所以全微分不为0

D， f(x,y)在点(x0,y0)的全增量△f=(△x^2+△y^2)sin[1/(△x^2+△y^2)]
很显然

[arong1234]

我们不需要sin收敛，只要它有界即可，因为前面的系数时高阶无穷小，而不是同阶无穷小