高数，看到题目可以想得到答案，可是为什么，如何分析？？？

[yzg19881212]

设f(x)=[g(x)-cosx]/x，x!=0
=a, x=0
其中已知g(x)二阶可导，且g(0)=1，（1）问a取何值时，f(x)在0处连续；（2）当f(x)连续时，证明f’(x)也处处连续。

[arong1234]

你得表达式里根本没有所谓得a，后面题目种a取何值，啥意思？

1. 如果是
f(x)=(g(x)-acos(x))/x，那么因为f(x)在x=0处连续，有g(x)-acos(x)在x＝0处收敛于0（否则分子不为0，分母为0）
因此g(0)-acos(0)=0 --> a=1


2.
如果f(x)连续，则表达式为f(x)=(g(x)-cos(x))/x
在0点附近，由于它等价于(1-cos(x))/x= 0.5x，f'(x)必然在0点连续
在其他点附近很显然处处连续

[yzg19881212]

设f(x)=[g(x)-cosx]/x，x!=0
=a, x=0

以上表示的意思是
当x=0 f(x)=a,
当x!=0 f(x)=[g(x)-cosx]/x
由于大括号在网页上打不出来，故写得让人误解，SORRY

[arong1234]

那就是说，lim(x->0)( [g(x)-cosx]/x) = a

很显然，上面的极限是0，这是因为当x->0时，cos(x)~1-x^2/2, g(x)-cos(x) ~ x^2/2, f(x)~x/2


如果f(x)连续，则f‘(x)在不等于0部分很显然连续，而在0处，由于f(x)~x/2，显然f'(x)也连续

[flushtime]

呵呵,如果 g(x) = x+ cos(x) 呢?
此时 f(x) 恒为1
满足条件

楼上推理中的: g(x)-cos(x) ~ x^2/2
是没有道理的.
事实上有g(x) 二阶可导,应用 那个啥(好像叫泰勒...很久不用,忘了)展开式,可以得到: (好像用那个啥子中值定理就可以搞定了)
g(x) =g(0) +x*g'(0) +o(x)
所以:
g(x) -cos(x) ~ x*g'(0) +x^2/2 +o(x) =x*g'(0) +o(x)
so:
a =g'(0) 时 f(x) 在0点连续

[flushtime]

哦,其实不用那么麻烦:

lim(x->0)f(x)= lim(x->0)[g(x)-cosx]/x
= lim(x->0)[g(x)-g(0)]/x +lim(x->0)[1-cosx]/x
= g'(0)
即知

[arong1234]

Taylor展开不是g(x) = g(0) + g'(0)x + g''(0)x^2/2+O(x^2)么？

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对的,注意是 O,不是o,意义不一样滴.

[arong1234]

O是同阶无穷小，o是高阶无穷小，你表示诚o(x)我还是觉得有问题的，至少得表示诚o(x^2)

[flushtime]

呵呵,你要坚持你的想法,偶也没办法.
反正偶认为偶的方法是没问题滴.

ps:
你觉得怎样可以从:g(x) = g(0) + g '(0)x + g ' '(0)x^2/2+O(x^2)
=>g(x) = g(0) + g '(0)x + o(x^2)
呢?

[arong1234]

还是我错了:$

[flushtime]

呵呵,ls大几了?
数学专业的?

[arong1234]

4楼说的对，是我错误。你那个吧o(x)要改成o(x^2)就完全正确了:)

[arong1234]

我92年学的:)肯定比你大多了去了
我学控制的:)

[flushtime]

哦,确实比我大不少.
现在还记得这么清楚,佩服佩服!

[flushtime]

呵呵,改成o(x^2)就错了...

[mathe]

92年入学的还是毕业的，我们应该年龄相差不多

[arong1234]

92还没入学呢:)我93年入学的