计算几何问题

bacmoz 2007-12-04 03:27:21

点集S = {S1, S2, ..., Sn}
A,B∈S, A != B
求P∈S, 使得PAB方向为逆时针, PAB不共线, 且三角形PAB内不包含S中的点
如何设计S的存储结构?

如果有三角剖分的结果就容易了

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9 条回复

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HUNTON 2007-12-06

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定义：平面上的三点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)的面积量：
S(P1,P2,P3) = (x1-x3)*(y2-y3) - (y1-y3)*(x2-x3)

如果S(P1,P2,P3)< 0,则P1P2P3是顺指针的
如果S(P1,P2,P3)> 0,则P1P2P3是逆指针的
如果S(P1,P2,P3)= 0,则P1P2P3三点共线

kaishui_gu 2007-12-05

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问题的复杂度等价于对“角度”排序的复杂度

tailzhou 2007-12-05

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其实不管怎么预处理，都只能使系数变小，不可能使复杂度低于o(n)；

除非对所有可能的ab都预先求解；

tailzhou 2007-12-05

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可以考虑对点按照坐标做索引；
若在由a,b点组成的矩形框内存在有逆时针的点，则在该矩形内肯定存在有符合条件的p;
若不存在有符合条件的点，扩大矩形的范围；

mathe 2007-12-04

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很简单，顺序保存就可以达到O(n)的算法
首先对于S中每个元素P
计算向量AP×AB(叉乘)，得到三角形PAB的有向面积
找到上面计算结果为正而且最小的P就可以了

bacmoz 2007-12-04

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"PAB方向为逆时针", 用来固定P在AB的一侧

bacmoz 2007-12-04

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我的问题在于:
能否设计合适的数据结构, 或采用合适的预处理
得到时间复杂度低于O(n)的算法

tailzhou 2007-12-04

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类似凸包的解法；

大概的计算可以这样；

计算AB的直线；
1）若AB直线与X轴平行，则计算所有的y坐标大于A的y坐标的点(若a的x坐标大于b点的x坐标，则取y坐标小于A的y的点)p,求AB与BP的角的角度；

2）若AB直线与不与X轴平行，则对所有的点p，计算“y=p的y坐标”的直线与AB直线的交点若交点的x坐标<p的x坐标(若a的x坐标大于b点的x坐标，则条件为：交点的x坐标>p的x坐标)，则求AB与BP的角的角度；

角度最小且大于0的点既为所求；
若有多个角度相同的点，那么，取这些点中跟b点最近的那个点；