一个难题

wangfengLLD 2007-12-06 05:14:33
一个长方形由9个正方形组成，且每个正方形的边长各不相同，已知有两个正方形的边长为12和21，
求长方形的面积？

请各位大侠帮帮忙，帮忙算算
我想用编程的方法做，但水平太低，编不出来。
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mu_yang 2007-12-13
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谢谢flyingscv
到目前为止
你的结果是最好的
flyingscv 2007-12-12
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是的

我重写了一个完备些的代码，并做了些优化
http://blog.csdn.net/flyingscv/archive/2007/12/12/1932191.aspx
mu_yang 2007-12-12
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37楼的代码是在
1.指定长方形(长宽比)
2.按照指定阶数(不同正方形个数)
条件下的求解代码
对吗?
flyingscv 2007-12-10
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先穷举出可能的正方形组合1 ，然后检测能不能拼成指定长方形2
程序用递归实现

1可能的组合：各正方形面积和与某个长方形面积相等，进行第一轮筛选

2就像用计算机玩只有大小不一的正方形的俄罗斯方块一样，搜索有没有解
WeinJones 2007-12-10
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不好意思，看来我是写不出来了。

最近拿到了一个软件的核心代码。几百万行，正努力攻坚中.......

大家继续加油啊～
flyingscv 2007-12-10
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#include <stdio.h>

#include <math.h>

#include <time.h>

#include <assert.h>



const MAXWIDTH = 120;	//最大宽度

const MAXBASE = 3;		//最小正方形最大尺寸

const RANK = 9;			//阶数

const MARGIN = 10;		//长宽最大差值(0表示正方形)



int square[MAXWIDTH];	//NUM个数的平方，优化效果微小

int result[RANK];		//可能的排列结果【0, rank-1】,从小到大



int width, height;		//宽、高

int count = 0;			//穷举记数



int flag[RANK];			//代表被使用的顺序号(索引);值[0,rank-1],rank表示未使用,>rank做标记用于输出结果,例:flag[RANK-1]=0，表示最大的正方形放第一个

int high[MAXWIDTH];		//已被填放的高度表,比如9×10的长方形放置一个5×5，则数据为:[5 5 5 5 5 0 0 0 0 0] 

//注意：这两个数组用于递归，每个递归使用退出后需要还原原值



void perfectrect();

void check();

void search(int n, int index, int sum);					//枚举正方形组合

bool searchrect(int n, int left);    //判断能否填充



int main(int argc, char * argv[])

{

	int i;



	//预处理

	for(i=1; i<=MAXWIDTH; i++)

	{

		square[i] = i * i;

	}

	perfectrect();



	printf("Complete!\n");



	return 0;

}



void perfectrect()

{

	int sum;

	int i;

	static count2 = count;

	time_t t;

	time_t t2 = 0;



	for(width=20; width<MAXWIDTH; width++) 

	{

		for(height=width; height<=width+MARGIN; height++)

		{

			sum = height*width;			

			for(i=1; i<=MAXBASE; i++)

			{

				result[0] = i;

				search(i+1,1, sum-square[i]);

			}

		}



		t = clock();

		printf("%d %10d %10d %10d %10d\n", width, count, t, count-count2, t-t2);

		count2 = count;

		t2 = t;

	}

}





/*  穷举所有可能组合，放入result[RANK],并调用check()检查

	n:      当前数最小值

	index： 当前数索引[0, RANK-1]

	sum:   后几位数累加和(含当前数)

*/

void search(int n, int index, int sum)

{

	int i;

	

	for(i=n;sum >=square[i]*(RANK-index); i++)  

	{

		if(index == RANK-1 )

		{

			if(sum == square[i]) 

			{

				result[index] = i;

				check();

				break;

			}

		}

		else 

		{

			result[index] = i;

			search(i+1, index+1, sum-square[i]);

		}

	}

}





//判断能否拼成指定长方形

void check() 

{

	count++;



	int i, tmp;



	for(i=0; i<RANK-1; i++)

		flag[i] = RANK; //未使用

	

	//第一个放置最大的

	flag[RANK-1] = 0;   

	tmp = result[RANK-1];

	for(i=0; i<tmp; i++)

		high[i] = tmp;

//	for(i=tmp; i<width; i++) //如果对第一行优化，则不需要这个

//		high[i] = 0;



	//放置第二个正方形，递归搜索

	searchrect(1, tmp);

}





/*	穷举能放置的正方形，返回: true 能放，false 不能

n:			第n＋1个正方形

left: 第一行时存放其起点，否则为0

*/

bool searchrect(int n, int left)

{

	int i, j;

	int pos, w, h; //最低处起始位置，高度，宽度

	int tmp;





	//对第一行优化处理

	if(left != 0)    

	{

		for(i=RANK-2; i>=0; i--) //从大到小放置（[RANK-1]已被使用）

		{

			if(flag[i] < n)//是否已使用

				continue;  



			if(result[i] > width-left) //放不下，下一个

				continue;



			flag[i] = n;   

			tmp = result[i];

			for(j=0; j<tmp; j++)

				high[j+left] = tmp;



			if(tmp == width-left)   //相等，搜索第二行

			{

				if(searchrect(n+1, 0))  //成功

				{

					flag[i] = RANK;   //恢复标记

					return true;

				}

			}

			else //继续第一行

			{

				if(searchrect(n+1, left+tmp))  //成功

				{

					flag[i] = RANK;   //恢复标记

					return true;

				}

			}

			flag[i] = RANK;     //恢复标记

		}



		return false;

		//assert(!"第一行排列出错");

	}//是否第一行





	//非第一行

	//获取插入位置和大小

	h = height+1;

	bool exist = false;

	for(i=0; i<width; i++)

	{

		if(exist && high[i] == h)

		{

			w++;

		}

		else if(high[i] < h)

		{

			h = high[i];

			pos = i;

			w = 1;

			exist = true;

		}

		else

		{

			exist = false;

		}

	}



	//遍历

	for(i=RANK-2; i>=0; i--) //从大到小放置（[RANK-1]已被使用）

	{

		if(flag[i] < n)//是否已使用

			continue;  



		if(n == RANK-1) //完美长方形

		{

			if(w == result[i] && height == h+result[i])

			{

				for(j=0; j<RANK-1; j++)

				{

					for(int k=0; k<RANK; k++)

						if(flag[k]==j)

							printf("%d, ", result[k]);

				}

				printf("%d\n", result[i]);

				return true;

			}

			else

				continue;

		}



		if(w < result[i]) //放不下，下一个

			continue;



		tmp = result[i];

		if(height < h+tmp)  //高越界

			continue;



		flag[i] = n;   

	

		for(j=0; j<tmp; j++)

			high[j+pos] += tmp ;



		if(searchrect(n+1, 0))  //成功

		{

			flag[i] = RANK;   //恢复标记

			for(j=0; j<tmp; j++)

				high[j+pos] -= tmp ;

			return true;

		}

		else //不成功，恢复标记后转下一个

		{

			flag[i] = RANK;     //恢复标记,好像多余

			for(j=0; j<tmp; j++)

				high[j+pos] -= tmp ;

		}

	}//逐个判断



	return false;

}
hkk333 2007-12-09
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台湾两个初3学生闲的没事搞这种研究?...
有点感慨.

感觉国内的初中生很多是让作业压的透不过气来,还能产生额外的兴趣那实在是罕见了

教育问题嘛,实在...
ltc_mouse 2007-12-09
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楼上的找到解法了？能简单介绍下穷举时用的判断条件吗，呵呵
flyingscv 2007-12-09
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9阶


 18     14

   4  10

 15 7 1 9

      8

0.3秒

10阶


 30      25

    3  8 17

 27  11  2

     13   15

290秒

阶数越高越慢
纯暴力穷举那个21阶的正方形的不大现实
需要优化
ltc_mouse 2007-12-09
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mu_yang，没有结果啊，我加了些限定条件，依旧无法找到正确的解：
9个正方形的边长按递增顺序为a[1]...a[9]
（1）假设已知最大正方形边长为a[9]=N=18（这个限定似乎可以接受，因为可调整）
（2）因为已知4,7，和a[9],需要求剩下6个边长，穷举的方案数C(N-3,6)
（3）判断某种方案是否符合一系列必要条件（现在没找到适当的）：
1. 面积Sum(a[i]*a[i])可分解成整数乘积 A * B (B>=A)
2. B和A分别满足 B>=a[9]+a[8], A>=a[8]+a[7];

其实判断条件2都无法证明是必要的，我甚至根据结果直接假定 B==a[9]+a[8], A==a[9]+a[7]（这个假定，对于9阶的一种形式就不成立）,满足的依然有29个；感觉需要找到能判断“缝隙”的条件
main90 2007-12-08
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令最小的正方形边长是1，n>4,可画出如下图形（如果比较散乱，请拷贝到VC2005中查看）。如果x矩形是正方形的话，则2n+1=15,n=7。n取其余值，x则为一长方形，不满足题意。


/*



   ┏━━━━━━━━━━━━━┳━━━━━━━┳━━━━━━━━┓

   ┃                          ┃              ┃                ┃

   ┃                          ┃              ┃                ┃

   ┃   X                  2n+1┃              ┃                ┃

   ┃                          ┃              ┃                ┃

   ┃                          ┃      n+1     ┃     n+2        ┃

   ┃                          ┃              ┃                ┃

   ┃                          ┃              ┃                ┃

   ┃                          ┣━━━━━━┳┫                ┃

   ┃                          ┃            ┣┻━━━━━━━━┫

   ┃                          ┃            ┃                  ┃

   ┃                          ┃      n     ┃                  ┃

   ┃                          ┃            ┃                  ┃

   ┃   15                     ┃            ┃                  ┃

   ┣━━━━━━━━━━━━━┻━━┳━━━┫        n+3       ┃

   ┃                                ┃      ┃                  ┃

   ┃                                ┃   4  ┃                  ┃

   ┃                                ┃      ┃                  ┃

   ┃                                ┣━━━┻━━━━━━━━━┫

   ┃                                ┃                          ┃

   ┃                                ┃                          ┃

   ┃                                ┃                          ┃

   ┃                                ┃                          ┃

   ┃              n+11              ┃                          ┃

   ┃                                ┃          n+7             ┃

   ┃                                ┃                          ┃

   ┃                                ┃                          ┃

   ┃                                ┃                          ┃

   ┃                                ┃                          ┃

   ┃                                ┃                          ┃

   ┃                                ┃                          ┃

   ┃                                ┃                          ┃

   ┗━━━━━━━━━━━━━━━━┻━━━━━━━━━━━━━┛



*/
mu_yang 2007-12-08
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呵呵
目前WeinJones和我都还没什么好办法
ltc_mouse ,看你的了
ltc_mouse 2007-12-08
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根据mu_yang的提示，查了下“完美长方形”，看到了，真可以称为完美啊，^_^
不过，没找到理论性的东西；想用穷举，但不知道怎么建立相应的模型来判断啊
WeinJones 2007-12-08
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汗，写错了。

应该是长江后浪的后浪的后浪推它前浪的前浪的前浪。

虽然马上退休，但在没退休之前作为程序员还是应该严谨的！
WeinJones 2007-12-08
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我试试写一个。

我也没想出答案。

看来长江后浪推前浪，我考虑退休。
昊叔 2007-12-07
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,应该能拼出来
hai040 2007-12-07
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同意ls,应该拼不出来
lxbxl_17 2007-12-07
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楼主被耍了。
边长不同的正方形是不可能拼出矩形的。一定要2个边长相同才行。
wa_ning1982 2007-12-07
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同意楼上的如果,每个正方形的边长都不相等,那么肯定会留下缝隙
flyingscv 2007-12-07
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如果各正方形边长不等

怎么拼都会留下缝隙
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