求一“银行存款最优解”的算法

[房梁之鼠]

假设银行整存整取存款不同期限的月息利率分别为：
0.63% 期限=1年
0.66% 期限=2年
0.69% 期限=3年
0.75% 期限=5年
0.84% 期限=8年
利息=本金*月息利率*12*存款年限。
现在某人手中有2000元钱，请通过计算选择一种存钱方案，使得钱存入银行20年后得到的利息最多(假定银行对超过存款期限的那一部分时间不付利息)。
------------------------------------
我嵌套了5个for 循环，得出了124种方案，其中最大利息方法是 年限为一年的存1年，年限为三年的存1年，年限为八年的存2年，最大利息为3260.84
但是问题在与先存一年的，再存三年的，然后存八年的 和 先存八年的，再存一年的，然后存三年的，得到的结果肯定不等，
如果在这124种方案中再做组合，然后求出最大利息，因该没错。但是这样做起来很烦。有没有简单点的方法来实现这个程序的功能。请高手指教。

[diaoxue]

在Lindo或Lingo里做

[ltc_mouse]

小江12楼给出的求利息那段代码，似乎还是不对。如果不存8年期的，貌似所有利息都泡汤了,^_^
另外，连续存n期的m年期，按这种算法，这段时间只能拿到本金的利息~ 没有滚利，:) 个人觉得应该用等比数列求和

尝试证明了下，跟先后存几年期的顺序没有关系的。如下，不知道对不对：
设rate[i]{i=1,2,3,5,8}表示i年期的利息率。
有m年期和n年期的m+n年存款方案，则按照m在前和n在前，可得到利息分别为：
先存m年期：rate[m]*m*12 + (1+rate[m]*m*12)*rate[n]*n*12
先存n前期: rate[n]*n*12 + (1+rate[n]*n*12)*rate[m]*m*12
这两个表达式是等价的，因而两期的存款，交换顺序不影响利息收益。
而所有元素相同的两个排列，一个排列可以通过两个元素间的两两交换变换到另一个排列。

最后这句排列的置换，有理论基础吗？忘记了，不是很肯定...如果错了，上述证明就无效了....

[chlaws]

//特地证明了下.
//以下数值都按取整算;
按顺序存储： 1 . 3. 8
1年  年息：151 
3年  年息：534
2个8年后年息：4331

按顺序存储： 8 .1. 3
2个8年年息：3225.6
1年   年息：243
3年   年息：861
总年息：4331
得到结论:
年息的多少跟存储的顺序无关


PS:不知上面野地里的人说的12楼的程序错在哪.偶自己米发现.
因为是穷举算法.跟存不存8年米什么关系.只要满足年份是20就行了.

[Tiger_Zhao]

    A n      C           D
----- - ------ -----------          
0.63% 1 1.0756 1.075600000 
0.66% 2 1.1584 1.076289924 
0.69% 3 1.2484 1.076757536 
0.75% 5 1.4500 1.077143588 
0.84% 8 1.8064 1.076717423 
----- - ------ -----------
A ;月息利率
n ;存款期限
C=1 + A*12*n ;存款期限结束后 (本金+利息)/本金 的比率
C=D^n ;该存款期限内的年（复利）利率

选最大可能的D进行存款，正好为4个5年期存款
 最终获利
=2000*(1.45)^4-2000
=6841.0125

注：^为指数运算，D^n 等于 pow(D, n)

[房梁之鼠]

if((Ayear*A) + (Byear*B) + (Cyear*C)+(Dyear*D) + (Eyear*E) == sum)
                        {  
                            corpus = 2000;
                            accrual=corpus*12*Ayear*A*Ainterest;
                                corpus += accrual;
                            accrual=corpus*12*Byear*B*Binterest;
                                corpus += accrual;
                            accrual=corpus*12*Cyear*C*Cinterest;
                                corpus += accrual;
                            accrual=corpus*12*Dyear*D*Dinterest;
                                corpus += accrual;
                            accrual=corpus*12*Eyear*E*Einterest;  //如果E 为0 ，  即：accrual==0
                            if(MAX_accrual < accrual)             //则这步比较无意义
                            {
                                MAX_accrual = accrual;
                                printf("\n**************\n");
                                printf("A = %d\t B = %d\t C = %d\t D = %d\t E = %d\t",A,B,C,D,E);
                                printf("\nMAX_accrual = %lf\n",MAX_accrual);
                                a=A; b=B;c=C;d=D;e=E;
                            }
                        }

[ltc_mouse]

Tiger_Zhao给出了很漂亮的解法，:-)

[房梁之鼠]

虽然不理解Tiger_Zhao 的解法。
但是特地证明了下，好像就是这个样子。

float ben = 2000.00f;
float xi  = 0.0f;

for(int i = 1; i<= 4; i++)
{
	xi = ben*0.0075*12*5;
	ben = ben+xi;
	printf("存款第%d次后利息:%lf， 本金为：%lf\n",i,xi,ben);
}
printf("最终的利息为：%lf\n",ben-2000);

存款第1次后利息:900.000000， 本金为：2900.000000
存款第2次后利息:1305.000000， 本金为：4205.000000
存款第3次后利息:1892.250000， 本金为：6097.250000
存款第4次后利息:2743.762451， 本金为：8841.012695
最终的利息为：6841.012695

[「已注销」]

强帖 上周和同学没事算体彩7位数每级中奖概率
搞了4个小时......

我个人认为此贴应该想象几个极端数据，然后按常理推断，类似Tiger——Zhao的方法

[chlaws]

对18楼的中的D表示不理解.
不知怎么得到的?

[杨文]

用不着那么大费周张吧！不过还是UP一下啊！我没时间给你一个更简单的了，是用C语言实现的！

[chlaws]

给楼主说一点.
整存整取的概念你还不清楚吧
银行整存整取是按年理息算的

[goodluckyxl]

以前数学建模时这个是最基本的题目
现在真是时间太长忘记了
f = 0.63*x1+0.66*x2+0.69*x3+0.75*x4+0.84*x5 或者一个max
其中具有一些限制条件
xi属于非负整数
x1+x2+x3+x4+x5=20
这类求解查查建模书 肯定是有类是方法公式的
推导出来进行程序计算

[goodluckyxl]

整个计算方法思路基本就是这样
可能计算利息有更复杂的方法但是同样合并考虑后公式是差不多的
f = (1+0.63*x1)*m+(1+0.63*x1)*m*(1+0.66*x2)....
不过这样叠加后稍微复杂了一些
变成高次方程求解了
需要采用一些高次求解过程了
我真是学忘了 只记得高等代数有一章讲了高次方程求解

[房梁之鼠]

To： goodluckyxl
你的意思是这样么？ 
得到f的最大值就是要求的方案，对么？

for(x1 = 0; x1<= 20; x1++)
{
	for(x2 = 0; x2<= 20; x2++)
	{
		for(x3 = 0; x3<= 20; x3++)
		{
			for(x4 = 0; x4<= 20; x4++)
			{
				for(x5 = 0; x5<= 20; x5++)
				{
					if(x1+ x2*2 + x3*3 + x4*4 + x5*5 == 20)
					{
						f  =  0.63*x1 + 0.66*x2 + 0.69*x3 + 0.75*x4 + 0.84*x5;
					}
				}
			}
		}
	}
}

[房梁之鼠]

不知道是不是我对题的理解有误~~
假如是在银行存4年一年期限的，然后存2年八年期限的。
和先存2年八年期限的，然后存4年一年期限的，
所得到的利息会一样么。
也就是说，在第二次及以后存款的时候，本金是不要加上原来的2000本金+上次存款得到的利息。

[ltc_mouse]

感觉这种问题最好结合数学方法，从理论上证明某种方案优于其他方案，然后再用编程探试，或者说编程验证。

PS: 楼主4楼给出的程序不太对吧，可能是手误，年限跟问题中的年限不符，呵呵~ 估价函数f的计算，好像忽略了利息也能增殖的问题。如果就是那样计算，跟先存几年期、后存几年期没有关系了。
另外，从程序角度，有优化的余地，假设用xi表示i年期的期数，除了Sum{xi}=20外，还有明显的约束条件0<=xi<=[20/i]

[kojie_chen]

难道是线性规划的题目？..

[chlaws]

#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include <stdlib.h>
void main()
{
    int corpus=2000; //本金   
    int A,B,C,D,E;   //对应年份个数
	int a,b,c,d,e;
    int Ayear=1,Byear=2,Cyear=3,Dyear=5,Eyear=8;
	int sum = 20;
    double accrual;//利息
    double MAX_accrual=0;//最大利息
    double Ainterest= 0.0063,Binterest= 0.0066,Cinterest= 0.0069;  //个年份利率
	double Dinterest= 0.0075,Einterest= 0.0084;
    printf("\n**************\n");    
	for(A = 0 ;A<=20; A++)
	{
		for(B = 0; B<=10; B++)
		{
			for(C = 0; C<7; C++)				
			{
				for(D = 0; D<=4; D++)	
				{		
	    			for(E = 0 ; E<3; E++)
					{	
						if((Ayear*A) + (Byear*B) + (Cyear*C)+(Dyear*D) + (Eyear*E) == sum)
						{         
                			accrual=corpus*12*(Ayear*A*Ainterest+Byear*B*Binterest+
                			Cyear*C*Cinterest+Dyear*D*Dinterest+Eyear*E*Einterest);         
		                	if(MAX_accrual < accrual)
							{
                                MAX_accrual = accrual;
		                		printf("\n**************\n");
                                printf("A = %d\t B = %d\t C = %d\t D = %d\t E = %d\t",A,B,C,D,E);
                                printf("\nMAX_accrual = %lf\n",MAX_accrual);
								a=A; b=B;c=C;d=D;e=E;
							}
						}
					}//for e
				}//for d
			}//for c
		}//for b
	}//for a
	printf("存%d个1年\t 存%d个2年\t 存%d个3年\t 存%d个5年\t 存%d个8年\t",a,b,c,d,e);
    printf("\nMAX_accrual = %lf\n",MAX_accrual);
	getch();
}

[yaoyuantk]

太多的for 循环了!

[Tiger_Zhao]

复利的计算公式
期末的：本金+利息=本金*(1+D)^n
其中n为结算次数，D为每次结算的利率。

而题中
>利息=本金*月息利率*12*存款年限
=本金*(C-1)
这就是说，在存款年限n中不是按复利计算的，为了全部转统一到按年的复利计算，需要有
C=D^n
所以D就是对C开n次根。

由于：本金+利息=本金*(1+D1)^n1*(1+D1)^n1*...*(1+Dk)^nk
并且满足：n1+n2+...+nk=20
为了使得获利最大，必须要尽量选取最大的D1、D2、...、Dk
简单规划后就是4个5年期存款