一个已知的连续两个数字，在一个数字序列里出现的概率问题

[saltedfish_zl]

已知一个了两位数字，比如23，
在一个9个数字组成的序列里，比如：123456789，并且各个数字允许重复，比如可以为：111122223；
9个数字包括0-9，
问题是23在这个序列里可能出现的概率是多大？？？？

[tailzhou]

如果0可以出现在数字的开头，那么9个数字组成的序列总共有10^9个；

出现23的序列总共有8个情况（出现在1，2位；出现在2，3位。。。出现在8，9位）；
每种情况有10^7个；

概率==8*10^7/(10^9)

[tailzhou]

上面有点问题；
还需要应用容斥原理才行，

[HW121]

j计算 *******23,******23*,*****23**,...,23*******，因为23是绑定的，出现的个数等价0～99999999中出现数字2的个数,
概率是 (10^8-9^8）/10^9

[大王派我去巡山]

不对啊，楼上这种算法是有重复的。
像232399999这种序列，统计1,2位的时候计算了一次，统计3,4位的时候又计算了一次。

[HW121]

只是说因为23是绑定的，出现的个数等价0～99999999中出现数字2的个数，计算8个数字组成的序列里出现2的个数，可以先计算不出现2的个数
为9^8,那么出现2的个数为10^8-9^8

[大王派我去巡山]

回复好快啊，一下就几个插队的。我前面是再说1楼的回复。
HW121的算法也有问题。

数字允许重复要麻烦很多，是要用到容斥原理。

[tailzhou]

但直接用容斥原理会很烦琐；

估计有较简单的方法；

[大王派我去巡山]

记23在1、2位的事件为A1，
记23在2、3位的事件为A2，
……
记23在8、9位的事件为A8

则P(A1 U A2 U …… U A8)
= P(A1) + P(A2) + …… + P(A8) - P(A1A2) - P(A1A3) - …… - P(A7A8) + P(A1A2A3) + ……

8个集合，是很繁琐。再想想有没更简单的方法...

[saltedfish_zl]

谢谢楼上几位阿，我也是觉得数字是允许重复的，可能出现232323239这样的，所以很麻烦。

[HW121]

不会吧，先算8个数字组成的序列里不出2的次数为10^8-9^8个，只要出现2的数字再上3不就是出现23，不重复的。

[HW121]

先算8个数字组成的序列里不出2的次数为10^8-9^8个，出现2的个数为10^8-9^8，那么在这些出现2的数字再上3的组合不就是出现23，不重复的。

[HW121]

copy 出错，更正
先算8个数字组成的序列里不出2的次数为9^8个，出现2的个数为10^8-9^8，那么在这些出现2的数字再上3的组合不就是出现23，不重复的。

[tailzhou]

长度为1的序列含有23的概率为0；
长度为2的序列含有23的概率为1/100；
....

长度为n的序列含有23的概率==sum(
1,2位为23，3--n没有23的概率;
2,3位为23，1--1且4--n没有23的概率;
...
i,i+1位为23，1--i-1且i+1--n没有23的概率;
...
n-1,n位为23，1--n-1没有23的概率;

[tailzhou]

长度为n的序列含有23的概率==sum（
1,2位为23的概率;
2,3位为23，1--1没有23的概率;
...
i,i+1位为23，1--i-1位没有23的概率;
...
n-1,n位为23，1--n-2位没有23的概率;
）

[大王派我去巡山]

HW121拿一个只有两、三位的短序列推演一下，就知道你说的对不对了。

容斥原理中虽然涉及到八个集合，但是序列长度为9，至多只能出现4个"23"，而且集合中还有好多是不能同时发生的，从这方面看能大大简化公式，我来试试。

[HW121]

你们想的太复杂，算完结果肯定与我的一样

[tailzhou]

其中:
"i,i+1位为23，1--i-1位没有23的概率"
==(1-"长度为i-1的序列含有23的概率")*1/100;

这样可以递推求出解。

[tailzhou]

贴个完整的：

长度为1的序列含有23的概率为0；
长度为2的序列含有23的概率为1/100；
...
长度为n的序列含有23的概率==sum（
1,2位为23的概率;
2,3位为23，1--1没有23的概率;
...
i,i+1位为23，1--i-1位没有23的概率;
...
n-1,n位为23，1--n-2位没有23的概率;
）

其中:
"i,i+1位为23，1--i-1位没有23的概率"
==(1-"长度为i-1的序列含有23的概率")*1/100;

[大王派我去巡山]

CSDN真差劲啊，老是看不到前面的回复，总得删除临时文件刷新页面才行。

差不多了：
P(A1)=P(A2)=……=P(A8)=10^7/10^9，这种情况在容斥公式中出现了8回；
P(A1A3)=10^5/10^9，类似这种情况在容斥公式中出现了21回；
P(A1A3A5)=10^3/10^9，类似这种情况在容斥公式中出现了20回；
P(A1A3A5A7)=10^1/10^9，类似这种情况在容斥公式中出现了5回；

所以23在序列中出现的概率为:
[8×10^7－21×10^5＋20×10^3－5×10^1]/10^9 = 77919950/10^9

待会写个程序验证一下，看看23出现的次数是不是77919950

[HW121]

自己底子太差（所以错），向两位学习。