以题会友：求算法，一个整数N分解成m个加数的所有成立条件。

oldsky 2002-09-29 08:56:35

如：N=5 时可以有如下相加方法:
N=1+4
N=2+3
N=1+1+3
N=1+2+2
N=1+1+1+2
N=1+1+1+1+1
如何分解这个N,有多少个具体分法，求算法，要求效率。

...全文

296 14 打赏收藏转发到动态举报

写回复

用AI写文章

14 条回复

切换为时间正序

请发表友善的回复…

发表回复

starfish 2002-09-30

打赏
举报

定义一个函数Q(M.N)，表示整数M的“任何被加数都不超过N”的分划的数目。Q(M.N)有以下递归关系：
1)Q(M,1)=1，表示当最大的被加数是1时，该整数M只有一种分划，即M个1相加；
2)Q(1,N)=1，表示整数M=1只有一个分划，不管最大被加数的上限N是多大；
3)Q(M,N)=Q(M,M)，如果M<N。很明显，M的分划不可能包含大于M的被加数N；
4)Q(M,M)=1+Q(M,M-1)。等式的右边分为两部分：第一部分的1表示M只包含一个被加数等于M本身的分划；第二部分表示M的所有其他分划的最大被加数N<=M-1，所以其他分划的数目就是等式右边的第二项。
5)Q(M,N)=Q(M,N-1)+Q(M-N,N)，如果M>N。等式右边的第一部分表示被加数中不包含N的分划的数目；第二部分表示被加数中包含N的分划的数目，因为如果确定了一个分划的被加数中包含N，则剩下的部分可以按照对M-N的分划进行划分。
上述五个递归关系式对Q(M,N)作了递归定义。因为M的所有分划的数目P(M)=Q(M,M)，所以上述关系式也定义了P(M)。

有了递归关系式后，解决问题的算法就非常简单了：

Partition(M, N)
1. if M < 1 or N < 1
2. then Error("输入参数错误")
3. else if M = 1 or N = 1
4. then return 1
5. else if M < N
6. then return Partition(M, M)
7. else if M = N
8. then return (1 + Partition(M, M-1))
9. else
10. return (Partition(M, N-1) + Partition(M-N, N));

注意，正整数的划分的数目随着M的增加增长的非常快（以指数级增长），所以不要用较大的整数来测试按照上述算法编写出的程序。

noall 2002-09-30

打赏
举报

不过上面只能对正整数才可以。
想算法这么难。。。

noall 2002-09-30

打赏
举报

一个memo,一个按钮，一个文本框（用来输入需要分解的值）
我这样做可以实现：但有几个问题：
function GetNum(S:string;Num:integer):string;
var I,J:integer;
Begin
for I:=1 to (Num div 2) do
begin
if (I>1 )and (Num<strtoint(edit1.Text)) then
break;//这一句写得不好
S:=S+'+'+IntToStr(I);
Mids:=S;
S:=S+'+'+IntToStr(Num-I);
memo1.Lines.Add(s);
if( I<>Num-I)and (num-I<>2) then
GetNum(Mids,Num-I);
S:=''//从新开始
end;
end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
var mids,s:string;
begin
s:='';
memo1.Lines.Clear;
GetNum(S,strtoint(edit1.Text));
end;
我是这样想的：
如要分解的值是6则
有1+5
用mids保存1
再对5分解
1+4
这时mids保存1+1
接着对4进行分解.
。。。。

gofor 2002-09-30

打赏
举报

海星的递归算法，可改为递推，速度很快。较大的数要注意整数溢出。
#include <iostream.h>
const M=100;
const N=100;
void main()
{
int a[M+1][N+1];
int i,j,m,n;
for (i=1; i<=N; i++) a[i][1]=1;
for (i=1; i<=M; i++) a[1][i]=1;
for (i=2; i<=M; i++)
for (j=2; j<=N; j++) {
if (i<j) a[i][j]=a[i][i];
else if (i>j) a[i][j]=a[i][j-1]+a[i-j][j];
else a[i][j]=a[i][i-1]+1;
}
cout<<"m, n=";
cin>>m>>n;
cout<<a[m][n];
cin>>i;
}

scorpiotianyawei 2002-09-30