计算圆周率PI的算法

[ljlwater]

现代的计算机可以把圆周率计算到数亿位,请问有没有人知道这是如何实现的?
类似的还有自然对数底e

期待高手,解决立马给分!

[MarsZhangLing]

呵呵，我有原代码，可是只能算几万的，算不了几亿的，算几亿靠我的
塞杨二566恐怕不行，！！！
如果只是几百万的话，还没问题，到几亿，而你又不想等的话，就必须靠
fft（算是FFT的变种吧！）具体贴起来可就多了。

[yaos]

有二次收敛算法，就是如果这次精度是1000位，下一次计算可以达到2000位精度，就是比较复杂，要是几亿位，恐怕编程的时间要远远超过最后算出PI的时间.
sqrt()表示平方根运算
x0=sqrt(2)
pi0=2+sqrt(2)
y0=sqrt(sqrt(2))

x(i+1)=1/2*(sqrt(x(i)) + 1/sqrt(x(i)))
pi(i+1)=pi(i)*(x(i+1)+1)/(y(i)+1)
y(i+1)=(y(i)*sqrt(x(i+1)) + 1/sqrt(x(i+1))) / (y(i) + 1)

希望没有打错。
算法用到了平方根运算，乘除法，必须运用FFT算法。

[yaos]

e就好算多了，直接求1/n!的和就可以了

[xzhuang]

还有一种用概率来求的。用园和矩形，然后随机生成点。根据点落的在矩形内的多少。然后依据几何概型来求！

[MarsZhangLing]

恐怕编程的时间要远远超过最后算出PI的时间.
呵呵，这倒不至于，不过确实非常的麻烦！
而且很多都没办法，不得不用汇编写（用C的话效率就要低一倍以上，没办法。还的稍微利用一点硬件的特性！
哎算几亿，太麻烦了，
算个2万吧，又太容易。哎。

[LoneStar0124]

http://www.jason314.com/
这个网站把PI介绍的很详细
我用其中的Bailey-Borwein-Plouffe算法的改进算法经过优化后计算PI小数点后100,000位仅用1秒钟。
还有更优的计算公式，不过我不大会实现。

[yaos]

以100000000为例，我说的方法内存占用大于pi的内存占用的8倍，而pi占用
100000000/8*0.3010，所以总的内存占用为330MB左右，要是没有大的内存，就免了。还有，总共需要26步迭代，每次要是用到1分钟的时间，你的程序就很快了。记住，计算乘法使用的FFT算法，最大的运算位数只是几千位，要是计算一亿位，就会需要特殊的算法.

[0738111080]

vgrtgfg

[laughcry2002]

参考了手边的几本书, 比较的结果是在众多的展开式中, 以下式收敛较快

pi = 24 * arctan(1/8) + 8 * arctan(1/57) + 4 * arctan(1/239)

其中, 在计算时将 arctan 函数用级数展开.

不知大家有何看法?

[wyb_Ultra]

大家不用忙着贴代码，先听我慢慢说。下面的公式一般我们叫做马庭公式：
pi = 24 * arctan(1/8) + 8 * arctan(1/57) + 4 * arctan(1/239)
如果不是要求太高，用上面的公式就行了，原因就是因为编程比较简单。去年，我曾经花了几个月去研究这个问题。我找了不少资料，参照了这个网站的信息：http://www.jason314.com/ ，后来改进了站长的汇编程序，如果没记错，速度可以在几小时内算到一百万位。但这已经是马庭公式这类型的算法的极限。我国内下载的程序也没有超越这个速度的。这类的公式还有更快的，如下，但是我想速度也不会有什么突破。
Pi/4 = 22*arctan(1/28)+2*arctan(1/443)-5*arctan(1/1393)-10*arctan(1/11018)
Pi/4 = 44*arctan(1/57)+7*arctan(1/239)-12*arctan(1/682)+24*arctan(1/12943)

[supercctv]

去年大一的时候，因为老师悬赏，我写了一个能计算pi的程序。
用turbo pascal 7.0写的，当时整整花了一周的时间，什么事都没干。
程序能计算到8000位，1000位的时间大概在15分钟。当然由于当时急着交作业，也就没对算法进行优化。总的思路如下：
1.要定义4个高精度的计算，加、减、乘、除。
2.然后找一个收敛比较快的公式，（现在我忘了）
3.按照公式计算，只不过所有的运算都必须是高精度运算。
由于在dos下，内存的空间有限，因此数组最多只能到8000个元素，如果在windows中用delphi或者是c++builder可以计算得更多。
我写了200行的源代码，不过我觉得这挺有意思的，至少能够说明自己编程的水平。有兴趣的话，或者需要源程序，我们可以联系.
我的电邮是[e-mail]

[MarsZhangLing]

网址我快不记得了，不过我下载的那个程序我特意也superPI比了一下，
算的少的话，看不出差距，越大差距越大，
那个程序比super pi 快多了！
不过他用了那个Apf233，里面一堆汇编文件，我好不容易才在VC6。0下编译通
过，运行。

[wyb_Ultra]

现在回答楼主的问题，真正能算PI的程序我只见过两个。
第一个是流行测试 CPU 的 SuperPI 程序。这个程序是由日本人用 F2C 把 Fortran 的源程序改成 C 的，改得适合在PC机上使用，使用的就是 Gauss-Legendre algorithm （高斯－勒让德）算法。而那个Fortran程序就是由近年来一直刷新世界纪录的那两个日本人 Yasumasa KANADA (Associate Professor) 和 D.Takahashi 写的，其实是刷新自己的记录而已。他们使用的是Gauss-Legendre algorithm算法和Borwein's 4-th order convergent algorithm算法，也许Fortran更适合科学计算。具体的算法我就不贴出来了，如果大家有兴趣可以找一下，简单的说就是用迭代法。关键问题已经不是寻找算法，而是怎样在更好的在计算机里实现算法，如何存储结果等。

[wyb_Ultra]

Introduction of Kanada Lab.

Field of Research:
High Performance Computing, Virtual Workstation System, Research on Research, Computer Algebra

Name of Laboratory:
Laboratory for Computational tools

Location:
University of Tokyo. Information science.

Name of staff:
Yasumasa KANADA (Associate Professor)
Akira YOSHIOKA (Research Associate)

网站在东京大学里，要找还是可以的。

[WYBULTRA]

连续的回复不能超过三次！

[wyb_Ultra]

第二个是PIFast，现在最新的版本是4.1，是一个法国人写的。日本人的程序是在大型机上运行的，而PIFast完完全全是在PC机运行的，主要是用了FFT，所以速度很快，快得你不相信，比PC版的SuperPI快很多。但是具体算法就不是很清楚，大家可以到他的网站看看。
http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html

[wyb_Ultra]

忘了告诉大家，目前PC机上流行的最快的圆周率计算程序是PiFast，PC机上的最高计算记录12,884,901,372位。使用Chudnovsky公式计算，速度最快。还可以使用Ramanujan公式，速度慢大约40%。PiFast可以利用磁盘缓存，突破物理内存的限制进行超高精度的计算，最高计算位数可达240亿位，并提供基于Fabrice Bellard公式的验算功能。它除了计算圆周率，还可以计算e和sqrt(2)。

[lizhongkun]

还可以用
多特魔德法！！！！

[lizhongkun]

说 错了!和和 !嘿
摩特卡罗法!

[crystal_heart]

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