随机散列的N个点，求一条直线，所有点到直线的距离之和最小。请教此算法的思路！

[tanggula]

如题，请达人指点，或者大家一起讨论下！

[tanggula]

ZFelix的提议不错，
但直线平移过程中总距离不变，应该有一个前提是直线两侧的点数相同，也就是说总共应该是偶数个点。
不过不必是绝对精确的，可以忽略这个因素。

之后的分段讨论，确定符号，求导数。。。可以再详细解释一下吗？

[大王派我去巡山]

的确，最小二乘法计算的是方差，出来的是距离的平方和最小，并不是直接的距离之和，但处理起来要方便得多。

我猜楼主也只是为了找到一条直线，在某种度量方式下与各点最接近，一定要是距离和吗？

[tanggula]

有人给了点提示：
把所有点都包含在内，再以这个圆的圆心为原点，做直线，旋转，利用枚举，最后找到线

[tanggula]

有两条可以证明：
1，那条直线两侧的点数是相同的
原因：那条直线向点数多的那一侧平行移动，点到直线的距离之和是在递减，直到直线两侧的点数相同时。
2，那条直线两侧的点数相同时，与直线平行移动它时，总距离不变，直到与一个点相交。
原因不用解释了。

所以一定存在一条必过一点的符合条件的直线。

[JiangHongTao]

有两条可以证明：
1，那条直线两侧的点数是相同的
原因：那条直线向点数多的那一侧平行移动，点到直线的距离之和是在递减，直到直线两侧的点数相同时。
2，那条直线两侧的点数相同时，与直线平行移动它时，总距离不变，直到与一个点相交。
原因不用解释了。

所以一定存在一条必过一点的符合条件的直线。
----------------------------------------------------------------------------
应该是线两侧的点之差等于线上的点。

[大王派我去巡山]

楼主上面说的都是经过其中的某个/些已知点一定能找到满足要求的直线，那和坐标原点有什么关系？

[JiangHongTao]

假设存在直线Y=K*X+B
对于每个点(PX,PY)可以在直线Y= K*X+PY-K*PX上。
则必然存在通过原点的直线Y=1/K*X，
使得每个点(PX,PY)可以转换为：
直线Y= K*X+PY-K*PX与Y=1/K*X的交点(NPX,NPY)
并且点(PX,PY)到直线Y=K*X+B与点(NPX,NPY)到直线Y=K*X+B的距离相等。
由于所有的点(NPX,NPY)均在直线Y=1/K*X上，因此可以求出使得距离最短的B,并且距离最短之和为每次计算剩余点中距离最长的点的距离并相加。
这样就能得到公式D=F(K),求K使得D最小。
在根据红色部分求出B的范围。

[qiu5208]

好就没用了，把算法写出来，复习了一边。

写的很乱，如果看不明白的话，就直接用最后的公式即可。


''''''''''''''''''''''''''''''''


1,有n个点他们的坐标是（X1，Y1），（X2，Y2)....(Xi,Yi).

2.设有一条符合条件的直线Ys=ax+b, 现在把各点的Xi值代入x的，就会得到与直线距离为0的点Ys1，Ys2，……Ysi

3.把Y1-Ys1,Y2-Ys2,.....Yi-Ysi,得到各实际点到直线的垂直距离e1,e2,...ei

4,垂直距离e1,e2,...ei因为有正负，相加的话会相互抵消，所以把他们平方(就是传说中的方差），
得出总偏差E=e1^2+e2^2+....+ei^2

5.整理上面几条
E=(Y1-Ys1)^2+.....
E=【Y1-（aX1+b）】^2+......【Yi-（aXi+b）】^2
得到最终公式：
E=∑(Yi-axi-b)^2
6.看上面公式，现在就是求出a，b 为何值是，E最小，
换句话说，直线方程Ys=ax+b的a、b为何值时，所有点到这条直线的总距离最短。

7.轮到导数出场了，高中数学学过，单一个函数的导数函数的值=0时，就是它的极值，
这里是最小值。
以a为自变量对公式求导： dE/da=2∑(Yi-aXi-b)xi
以b为自变量对公式求导：dE/db=-2∑(Yi-aXi-b)
8.令导函数=0
2∑(Yi-aXi-b)xi=0
-2∑(Yi-aXi-b)=0
9.整理上面
(∑Xi^2)a+(∑Xi)b=∑YiXi
(∑Xi)a+nb=∑Yi 'n是点的个数

10.未知量是a，b，解方程。
轮到线性代数出场。用行列式解方程法即可。


解出a,b得：

a=(∑YiXi*n-∑Xi*∑Yi)/(∑Xi^2*n-∑Xi^2)
b=(∑Xi^2*∑Yi-∑YiXi*∑Xi)/(∑Xi^2*n-∑Xi^2)


11,把求得a,b代入Ys=ax+b，就是需要的直线。

[大王派我去巡山]

上面的朋友说的和前面提到的最小二乘法一样，求出来的结果是距离的平方和最小，而精益求精的楼主要的是距离和最小:)

看到一篇论文是专门针对这个问题的。前面的讨论中已经说到了“过其中某个已知点一定能找到满足要求的直线”，论文中进一步证明了“这样的直线还会经过另一个已知点”（关于这个问题的证明感觉作者描述得很乱，但应该还是能看出头绪的）。因而最终的算法就成了遍历所有已知点中两点连成的直线，距离和最小的那个同时也就是满足要求的直线。


由于用到了大量的数学公式，所以只能贴图了。大家看这里的链接：
http://blog.csdn.net/dlyme/archive/2008/03/04/2147099.aspx

[tanggula]

恩，dlyme怀疑的对。
忽略了一个因素，虽然可以经过一点，但是那个点也是未知的，这个判断也就没有价值了。

本意是把经过的那个点作为坐标原点，其它做坐标转换，希望能够简化问题。

qiu5208写的很详细，试试看能否走的通。

[大王派我去巡山]

"全最小一乘法"，看到了这样奇怪的名称。
CSDN的blog里找不到图片链接地址了，贴图试一下，不行大家只好自己去连接地址看了。

[tanggula]

感谢dlyme找到的这篇论文，
上面的理论（如果正确的话 ，目前还不能理解）应该是解决问题的比较好的方法。

必经过已知点中的两点，感性的去想像，有点想不通，呵呵！

[大王派我去巡山]

呵呵，可以贴图，那就来个完整的：

[tanggula]

我对这些数学公式已经很陌生了，要补习下才能去写代码。

呵呵，再贪心一把，
请有兴趣的朋友按diyme贴出的理论用c或者c++把此算法实现一下。

[qiu5208]

旋转坐标，
在不同的坐标位置，进行线性回归即可。

[tanggula]

我也觉得，在可以容忍的精度下，去旋转坐标，然后把所有可能都计算出来，找出合适的。
这样算法简单，不需要去考虑公式，而且在精度合适的情况下，计算量也是有限的。

[tanggula]

是旋转那条经过坐标原点的直线

[大王派我去巡山]

是旋转那条经过坐标原点的直线
=============================

谁说这条直线一定经过坐标原点？

[qiu5208]

比较牛，收藏了。

[qinhua998]

fz = (5 * (t1 * da1 + t2 * da2 + t3 * da3 + t4 * da4 + t5 * da5) - (t1 + t2 + t3 + t4 + t5) * (da1 + da2 + da3 + da4 + da5));
fm = (5 * (Math.Pow(t1, 2) + Math.Pow(t2, 2) + Math.Pow(t3, 2) + Math.Pow(t4, 2) + Math.Pow(t5, 2)) - Math.Pow((t1 + t2 + t3 + t4 + t5), 2));
b = fz / fm;

fz = ((Math.Pow(t1, 2) + Math.Pow(t2, 2) + Math.Pow(t3, 2) + Math.Pow(t4, 2) + Math.Pow(t5, 2)) * (da1 + da2 + da3 + da4 + da5) -
(t1 + t2 + t3 + t4 + t5) * (t1 * da1 + t2 * da2 + t3 * da3 + t4 * da4 + t5 * da5));
fm = (5 * (Math.Pow(t1, 2) + Math.Pow(t2, 2) + Math.Pow(t3, 2) + Math.Pow(t4, 2) + Math.Pow(t5, 2)) - Math.Pow((t1 + t2 + t3 + t4 + t5), 2));
a = fz / fm;