一道高中的几何题目求解

[ZhangYv]

一个正方形ABCD,10个人住在A,B,C,D四个角上,其中一个住在B,两个住在A,两个住在C,5个住在D.他们要在这个正方形中碰面,问:在哪个点碰面,所有人的路程总和最小.

简化后:命名碰面点为P,那么求的是:2AP+BP+2CP+5DP的最小值
正方形ABCD如：
A B

C D

[langhua0001]

问题描述的不太清楚啊.碰面的点是必须在边上还是可以在正方形的内部? 不同的要求答案也肯定是不同的

是数学题还是编程体? 问题太模糊了

[linfengc]

很明显是在方形内，很明显是数学题，用编程求解。

[linfengc]

这个点一定在AD连线上，而且离 D点很近。哈哈。
用循环来搞，精确到小数点2位，也不麻烦。

[ZhangYv]

别编程了，给出数学解就可以了。我想了一天，有一个答案，但是还是没彻底明白。

[linfengc]

A |—————— C
| |
| . |
| O |
| P |
B |—————— D

加入中点为O，解点(设为P)应该在O到D之间。而且满足4*(CP-CO) = 4*OP
即CP-CO = OP，
这样一算，。。。难道是O点？

[星羽]

数学菜，帮顶

[linfengc]

[Quote=引用 5 楼 linfengc 的回复:]
A ¦—————— C
¦ ¦
¦ . ¦
¦ O ¦
¦ P ¦
B ¦—————— D

加入中点为O，解点(设为P)应该在O到D之间。而且满足4*(CP-CO) = 4*OP
即CP-CO = OP，
这样一算，。。。难道是O点？
[/Quote]
怎么发出去就是歪的了。

应该是
4*(CP-CO) < 4*OP ，节省的距离大于C、B两处的人多走的距离。
会在某一点达到极值。

[linfengc]

也就是OP - （CP-CO）的值最大的地方。

[deng2000]

答案是Ｄ点．证明如下：

设P是正方形ABCD所在平面的任意一点，则我们有三角不等式：
　　　AP + DP >= AD　　　--------------------- (1)
　　　BP + DP >= BD --------------------- (2)
　　　CP + DP >= CD --------------------- (3)

(1)*2 + (2) + (3)*2, 得：
　　　2AP + 2DP + BP + DP + 2CP + 2DP >= 2AD + BD + 2CD

亦即
　 　2AP + BP + 2CP + 5DP >= 2AD + BD + 2CD

注意上式左边就是选择在P点的总路程，而右边就是选择在D点的总路程．
由P的任意性，我们知道D就是总路程最小的点

[baihacker]

10楼正解

[linfengc]

这样一算又是D点了，怪异哦。

[ZhangYv]

10楼，你真是天才！