问一个简单数学问题:求阶乘尾数零的个数

[yanjinbin01]

求一个数的阶乘尾数 零个数,
相信大家都看过这个
我在推理下:

阶成产生零最小因子是5,

如
5! = 120 5/5 = 1 所以只有1次机会产生0 尾数就会有 1个0
10! = 3628800 10/5 =2 所有有2次机会产生0 尾数就会有 2个0
20! = 2432902008176640000 20/5 =4 所有有4次机会产生0 尾数就会有 4个0
25! = 15511210043330985984000000 25/5 所有有5次机会产生0 尾数就会有 5个0 但为什么这里是6个0呢.
怎么推出来的。想半天不明白..........

[brookmill]

虽然25“有5次机会产生0”，但是其中一次产生了两个，所以多了一个0
2*5 = 10，所以5、10、15每次产生1个0
4*25 = 100，所以25、50、75每次产生2个0
8*125 = 1000，所以125、250、375每次产生3个0
……

[bluewanderer]

0是 *10导致的 而*10是 * (2 * 5)导致的，因数2远比5多，所以最终是由乘了多少5决定的。25有两个5

[Dogfish]

转自：http://www.chinaunix.net/jh/23/926848.html

问题描述
给定参数n（n为正整数），请计算n的阶乘n！末尾所含有“0”的个数。
例如，5！=120，其末尾所含有的“0”的个数为1；10！= 3628800，其末尾所含有的“0”的个数为2；20！= 2432902008176640000，其末尾所含有的“0”的个数为4。

计算公式
这里先给出其计算公式，后面给出推导过程。
令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数，则有：
当0 < n < 5时，f(n!) = 0;
当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。

问题分析
显然，对于阶乘这个大数，我们不可能将其结果计算出来，再统计其末尾所含有的“0”的个数。所以必须从其数字特征进行分析。下面我们从因式分解的角度切入分析。

我们先考虑一般的情形。对于任意一个正整数，若对其进行因式分解，那么其末尾的“0”必可以分解为2*5。在这里，每一个“0”必然和一个因子“5”相对应。但请注意，一个数的因式分解中因子“5”不一定对应着一个“0”，因为还需要一个因子“2”，才能实现其一一对应。

我们再回到原先的问题。这里先给出一个结论：
结论1： 对于n的阶乘n！，其因式分解中，如果存在一个因子“5”，那么它必然对应着n！末尾的一个“0”。
下面对这个结论进行证明：
(1)当n < 5时, 结论显然成立。
(2)当n >= 5时，令n！= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a，其中 n = 5k + r (0 <= r <= 4)，a是一个不含因子“5”的整数。
对于序列5k, 5(k-1), ..., 10, 5中每一个数5i(1 <= i <= k)，都含有因子“5”，并且在区间(5(i-1),5i)(1 <= i <= k)内存在偶数，也就是说，a中存在一个因子“2”与5i相对应。即，这里的k个因子“5”与n！末尾的k个“0”一一对应。
我们进一步把n！表示为：n！= 5^k * k! * a（公式1），其中5^k表示5的k次方。很容易利用(1)和迭代法，得出结论1。

上面证明了n的阶乘n！末尾的“0”与n！的因式分解中的因子“5”是一一对应的。也就是说，计算n的阶乘n！末尾的“0”的个数，可以转换为计算其因式分解中“5”的个数。

令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数, g(x)表示正整数x的因式分解中因子“5”的个数，则利用上面的的结论1和公式1有：
f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k + g(k!) = k + f(k!)
所以，最终的计算公式为：
当0 < n < 5时，f(n!) = 0;
当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。

计算举例
f(5!) = 1 + f(1!) = 1
f(10!) = 2 + f(2!) = 2
f(20!) = 4 + f(4!) = 4
f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24
f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249
...

[野男孩]

[Quote=引用楼主 yanjinbin01 的帖子:]
求一个数的阶乘尾数 零个数,
相信大家都看过这个
我在推理下:

阶成产生零最小因子是5,

如
5! = 120 5/5 = 1 所以只有1次机会产生0 尾数就会有 1个0
10! = 3628800 10/5 =2 所有有2次机会产生0 尾数就会有 2个0
20! = 2432902008176640000 20/5 =4 所有有4次机会产生0 尾数就会有 4个0
25! = 15511210043330985984000000 25/5 所有有5次机会产生0 尾数就会有 5个0 但为什么这里是6个0呢.
怎么推出来的。…
[/Quote]

呵呵~~ 乘积末尾的0的个数依赖于因子中的2的个数和5的个数。对于阶乘来说，每2个数字就至少有一个2的因子，所以2的因子是足够的。5的因子相对少些，至少连续5个数才能保证一定出现一个。注意，这里连续5个书保证出现一个5的因子是指最少的情况。比如1，2，3，4，5，这就只会出现一个。但是考虑21，22，23，24，25，25 = 5 * 5,所以如果乘以25那就能得到2个5的因子。

所以n!中5的个数的计算是：[n/5]+[n/(5*5)]+[n/(5*5*5)]+....

#include <stdio.h>

#define MAX_N 1000

int main(int argc, char* argv[])
{ 
	int tmp = 5;
	int nCnt = 0;
	while(MAX_N >= tmp)
	{
		nCnt += MAX_N/tmp;
		tmp *= 5;
	}

    printf("zero cnt = %u\n", nCnt);
    return 0;
}