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请教生成所有排列的算法,大家谁能证明一下

ksharp2008 2008-04-09 07:39:10

就是离散数学及其应用里的那种按字典序生成排列，谁能证明一下啊。
具体描述是，对A1,A2,...AN 寻找第一个Aj<A(j+1) 和A（j+1)>A(j+2)>A(j+3)>....A(n).寻找J+1到N中最小的大于Aj的元素，然后交换后对A(j+1)....An按升序排序。
请教大侠一个证明

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ksharp2008 2008-04-10

思维很紧密

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ksharp2008 2008-04-10

又见大王，大王哪儿高就啊。真的很强啊

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大王派我去巡山 2008-04-10

假设n个元素a(1)<a(2)<……<a(n)，
最开始的序列一定是从a(1)a(2)……a(n)这个最小序列开始的(一定注意这一点，否则不能保证算法的正确性)，
到最后一个序列也是最大的a(n)a(n-1)……a(2)a(1)结束。

按照你说的算法执行过程，任取中间两个相邻序列S[i]和S[i+1]
需要证明两点才能保证这个过程是升序排列同时有没有遗漏：
1.后面这个序列大于前面的相邻序列，即S[i+1]>S[i]；
2.后面的这个序列S[i+1]是“刚刚好大于”S[i]的序列。换句话说，S[i+1]是所有大于S[i]的序列中最小的那个。

关于命题1：
和整数类似，我们把序列看成从左往右由高位到低位，高位上被换上了一个更大的数字，显然新序列更大一些。
关于命题2：
假设还存在一个序列S[k]使得S[i]<S[k]<S[i+1]，由于S[i]和S[i+1]中的1～j-1位完全相同，
所以S[k]的前1～j-1位必定也是和S[i]中相同的，只需研究j～n这些低位数字就可以比较出三个序列的大小。
将S[i]中的第j位数字记作a[i,j]，S[i+1]中的第j位数字记作a[i+1,j]，S[k]中的第j位数字记作a[k,j],
由于1～j-1位完全相同，且S[i]<S[k]<S[i+1]，显然有a[i,j]<=a[k,j]<=a[i+1,j]。
又因为a[i+1,j]是“J+1到N中最小的大于Aj的元素”，那显然只能有a[k,j]=a[i+1,j]。
于是比较S[k]与S[i+1]两个序列大小的问题，又转换成比较j+1～n这些低位数字的大小问题。
S[k]与S[i+1]前1～j位都相同，由于S[i+1]后面的元素全都升序排列，所以只能有S[i+1]<=S[k]。
这就得出了矛盾，因而前面的假设不可能成立，命题得证。

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medie2005 2008-04-10

应该是很显然的事实啊，不需要证明吧。
实质上就是进位规则，只是我们平时用10进制用惯了，不太容易看出来而已。
数的进位规则：
1）：找最低的可增大的位k，增加之。
2）：将比k位低的位全清零。
比如：099，显然，红色的0是最低的可增加的位，增加之，变为199；然后，将十位和个位清零，得到了100.

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