一个有意思的问题---高效地截取管子的问题,算法.高分求解!

[joners]

今天上午遇到了一个有意思的情况.
一家公司需要设计这样一款软件
具体的业务需求是这样的
这家公司是制作门窗的,材料是铝合金管 例如:6.3米一根
一根长管可能需要截取不同长度的小段.例如可能截取1米一段,2米一段,0.5米一段.具体如何截取和生产的产品大小规格有关.
希望编写一个软件,可以把材料利用律最大化.
软件主要有两类不同的参数
一类:需要输入截取几种不同长度的小段的长度.例如:1米,1.5米等.
二类:进料的长度.例如6.3米
目前小弟还没有拿出好的办法,各位老大有什么好的想法.
在线等待

[joners]

谢谢,dlyme:
经典的背包问题中,价格是不是一个干扰?如果把价格问题去掉?
令为了验证是不是最优方案,是否要把"m*L-n[1]*L[1]-n[2]*L[2]-…-n[k]*L[k]"公式代入演算啊?
还有很多问题不明确,希望能给出详细的解答.

[大王派我去巡山]

价格？这里面没有涉及到价格，或者可以认为所有物品的价格是和体积/重量成正比的，所以只考虑体积/重量一个因素就够了。

那个公式是用来说明问题的（用的管子越少越省料），但无法直接用来演算。因为具体用到多少根大管子是受小管子数量和长度影响的，不能直接套公式。举个例子来说：大管子长6.3米，现在需要截出3根长4米的小管子，如果直接看公式6.3*2>4+4+4，好像用两根就可以了，但实际上需要3根才能裁出来。

这个解答其实已经很清楚了，你的问题还是在于对0-1背包问题不了解。关于这方面的资料网上有很多，建议你先看看。

[可口可乐]

先贴个代码，没时间解释了，
也不知道对不对，回去再看看

double size[3] = {0.5, 1, 2};
pair<int, double> dp[100][100][100];
double material = 6.3;

pair<int, double> get(pair<int, double>& p, int id)
{
	if (size[id] > p.second)
		return (make_pair(p.first+1, material - size[id]));
	return (make_pair(p.first, p.second - size[id]));
}

pair<int, double> go(int n1, int n2, int n3)
{
	if (dp[n1][n2][n3].first != -1) return dp[n1][n2][n3];

	pair<int, double> p1, np1, p2, np2, p3, np3;
	np1.first = np2.first = np3.first = INT_MAX;
	if (n1 > 0) 
	{
		p1 = go(n1-1, n2, n3);
		np1 = get(p1, 0);
	}
	if (n2 > 0) 
	{
		p2 = go(n1, n2-1, n3);
		np2 = get(p2, 1);
	}
	if (n3 > 0) 
	{
		p3 = go(n1, n2, n3-1);
		np3 = get(p3, 2);
	}

	pair<int, double> minp = min(min(np1, np2), np3);
	dp[n1][n2][n3] = minp;

	return minp;
}

void cal()
{
	for (int i = 0; i < 100; i++)
		for (int j = 0; j < 100; j++)
			for (int k = 0; k < 100; k++)
				dp[i][j][k] = make_pair(-1, 0);

	dp[0][0][0].first = 0;
	dp[0][0][0].second = 0;

	go(10, 20, 30);

	cout << dp[10][20][30].first << endl;
}

[joners]

再补充说下:
原材料是成批购买的,例如可能买50根 6.3米的管子.
截取的小段也是很多可能需要截取20根1米的,20根1.5米的

[C1053710211]

动态规划，建立一个表示管子总长度的数组d，
对于d[i]，如果能够截取出长度为i的管子，那么d[i]为1,否则为0;
状态转移方程
if d[i-l[j]]==1 ，d[i]=1，l[j]是可供选择的那些截取长度，0<j<n,
else d[i]=0 ,d数组中下标最大那个为1的i就是所求。

[yatobiaf]

动态规划啊，典型的背包问题。

[knowledge_Is_Life]

以后需再关注，现在先帮你顶一下

[rover___]

6.3米分成1米,1.5米这2种的话，没什么好优化的。1米,1.5米的价格如何不明白的话，只能按照其尺寸定价。6.3米分成6个1米,4个1.5米，2个1.5米和3个1米，都是最优解。除非能给出不同尺寸材料的价格来，要不没法整体优化。

[joners]

up

[可口可乐]

原来的代码求最优解部分min搞错了，改一下。

代码含义：
pair<int, double> dp[100][100][100];

这儿假设有三种可能的截取长度，
dp[n1][n2][n3]用于保存对应于每种截取长度所需个数为n1,n2,n3时的最优解，
pair<int, double>中int用于保存材料个数，double用于保存当前剩余长度。

dp[n1][n2][n3]可以由dp[n1-1][n2][n3],dp[n1][n2-1][n3],dp[n1][n2][n3-1]中最优的一个获得，
参考代码。

可能存在的问题：
内存消耗。如果有k种可能的截取长度，每种最大需要的个数为Ni，
如果N1*N2*...*Nk内存可以接受的话，动态分配dp的大小，这儿的解法可能没什么问题。
如果内存过大，可以采用map，以(n1,n2,...,nk)作为索引。

double material = 6.3;
double size[3] = {0.5, 1, 2};
pair<int, double> dp[100][100][100];

pair<int, double> get(pair<int, double>& p, int id)
{
	if (size[id] > p.second)
		return (make_pair(p.first+1, material - size[id]));
	return (make_pair(p.first, p.second - size[id]));
}

pair<int, double> minp(pair<int, double>& p1, pair<int, double>& p2)
{
	if (p1.first < p2.first) return p1;
	if (p1.first == p2.first)
	{
		if (p1.second > p2.second) return p1;
	}
	return p2;
}

pair<int, double> go(int n1, int n2, int n3)
{
	if (dp[n1][n2][n3].first != -1) return dp[n1][n2][n3];

	pair<int, double> p1, np1, p2, np2, p3, np3;
	np1.first = np2.first = np3.first = INT_MAX;
	if (n1 > 0) 
	{
		p1 = go(n1-1, n2, n3);
		np1 = get(p1, 0);
	}
	if (n2 > 0) 
	{
		p2 = go(n1, n2-1, n3);
		np2 = get(p2, 1);
	}
	if (n3 > 0) 
	{
		p3 = go(n1, n2, n3-1);
		np3 = get(p3, 2);
	}

	pair<int, double> min0 = minp(minp(np1, np2), np3);
	dp[n1][n2][n3] = min0;

	return min0;
}

void cal()
{
	for (int i = 0; i < 100; i++)
		for (int j = 0; j < 100; j++)
			for (int k = 0; k < 100; k++)
				dp[i][j][k] = make_pair(-1, 0);

	dp[0][0][0].first = 0;
	dp[0][0][0].second = 0;

	go(10, 20, 30);

	cout << go(10, 20, 30).first << endl;
}

[baobao2010]

mark

[tailzhou]

感觉
brucesea
可口可乐的解法是可以的；

如果将每个小管子都进行编号，那么每一种裁法都可以对应到一个排列；
其中的每一个小管子要么跟上一小管子用同一管子，要么使用一个新的管子；

[tailzhou]

这个问题直接用0-1背包应该有点问题;

比如大管子的长度为8米;
现在需要8个5米的,以及8个2米的;

如果用背包,那么前两根大管子就会被裁成8根2米的;
这样就需要10跟大管子;

但每根大管子都裁成5+2,只需要8根;

[junglesong]

mk

[swbchangle]

明显是数学建模的题目

先确定切割模式：

模式i 截取a1长度的数量ri1，截取a2长度的数量ri2，截取a3长度的数量ri3，……，剩余长度（下脚料）ri

列出所有的模式。（规模较大的话得用程序实现）

设x1，……，xn为按照各种模式切割的钢管数

决策目标为Min x1+x2+……+xn

约束条件
根据要求列出方程组

为优化程序，可以加上x1>=x2>=……>=xn，因为各种模式的排列顺序无关

然后 用LINGO求解

[aayzaayz]

....

[Paradin]

感觉不是背包问题吧。。。是bin-packing

1)把这看成一个容积限制为L的0－1背包问题，先来填第一个背包；
2)所有物品是否已经全都放进去了？
如果是，算法结束；
如果没有，对剩下的物品再使用0-1背包的方法再填充一个容积为L的背包；
3)重复2

你看看我举这个例子有问题不：

包容积为10
10个物品体积为2 2 2 2 2 7 7 7 7 7

用背包的话：
第1个包: (2,2,2,2,2)
2 : (7)
3 : (7)
.. ...
6: (7)
一共6个包。
而实际上只要5个： (2,7) (2,7) (2,7) (2,7) (2,7)

不知道是不是我理解错了。。

我顶18楼

[Paradin]

[Quote=引用 16 楼 tailzhou 的回复:]
感觉
brucesea
可口可乐的解法是可以的；

如果将每个小管子都进行编号，那么每一种裁法都可以对应到一个排列；
其中的每一个小管子要么跟上一小管子用同一管子，要么使用一个新的管子；
[/Quote]

那个是不是就是穷举啊？

[Paradin]

up

[bobniq]

down