信息学试题无奖竞答

[idler]

题目：Red Virus

最近发现一种新病毒，因为其蔓延速度与最近在Internet上传播的“红色代码”不相上下，所以被称作“红色病毒”。经研究发现，该病毒及其变种的DNA的一条单链中，胞嘧啶、腺嘌呤均是成对出现的。为了搞清楚该病毒的特征，你要对此做出研究。你要得到的是在这个特征下，可能成为病毒的DNA单链序列的个数。更精确的说，你要统计所有满足下列条件的长度为n的字符串的个数：
1.字符串仅右A，T，C，G组成。
2.A出现偶数次，或者不出现。
3.C出现偶数次，或者不出现。
例如，当n=2时，满足条件的字符串有如下6个：
TT，TG，GT，CG，AA，CC。
这个数可能非常大，所以只需输出最后两位数字。

输入：
redvirus.in
输入文件每行给出一个n，1<=n<=10^9，最后以0结束。

输出：
对每个n，输出满足条件的字符串个数的最后两位数字。

输入样例：
1
2
3
100
0

输出样例：
2
6
20
32

限时：
每个n限时5秒。

注意：n的取值很大，不能直接使用递推法。

[Zig]

SH-samsung Problem C
The answer is 2^2(n-1)+2^(n-1)
This formula is from f(n)=4^(n-2)*2+f(n-1)
Do you need test data and standard program?

[Zig]

forgot to say.
f(n)=f(n+20)

[Iong]

Zig,show me!
email:[e-mail]

[idler]

Zig兄：你有比赛的测试数据吗？寄给老弟一份，谢谢！
[e-mail]

[idler]

下面是解题思路：

令
f(i) 字符串长度为i时，A,C的个数都为偶数的字符串的个数。 (A)
g(i) 字符串长度为i时，A,C的个数都为奇数的字符串的个数。 (B)
h(i) 字符串长度为i时，A,C的个数一个为奇数，另一个为偶数的字符串的个数。 (C)
显然，有：
f(i)+g(i)+h(i)=4^i (1)

根据题意，有
f(1)=2 g(1)=0 h(1)=2

递推：
i) n=1时，f(1)=1，g(1)=0，h(1)=2
ii)
n=n+1时，有
f(n)=f(n-1)*2+h(n-1)
g(n)=g(n-1)*2+h(n-1)
解释如下：
任意一个长度为n-1的、符合条件(A)的字符串加上一个T或者G即可构成一个长度为n的、符合条件(A)的字符串。所以有f(n-1)*2。
任意一个长度为n-1的、符合条件(B)的字符串加上A,C中个数为奇数的字符集可构成一个长度为n的、符合条件(A)的字符串。所以有h(n-1)。
g(n)的构造方法也一样。
由(1)得
h(n)=4^n-f(n)-g(n)
所以
h(n)=4^n-f(n-1)*2-g(n-1)*2-h(n-1)*2
=4^n-2*(f(n-1)+g(n-1)+h(n-1))
=4^n-2*4^(n-1)
=2*4^(n-1)
代入，得
f(n)=f(n-1)*2+2*4^(n-2)
=2f(n-1)+2^(2n-3)
f(n+1)=2f(n)+2^(2n-1)
为a(n+1)=pa(n)+q(n)形式的递推式，求通项公式，得
f(n)=2^n+2^(2n-2)-2^(n-1)
=2^(n-1)+2^(2n-2)

将2^k的后两位val(k)列表
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
val 02 04 08 16 32 64 28 56 12 24
k 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
val 48 96 92 84 68 36 72 44 88 76
k 21 22
val 52 04
因为val(k)=2*val(k-1) mod 100，又因为val(2)=val(22)，所以val的值在val(2)以后以20为周期循环。
所以，有
val(1)=2
val(k)=val((k-2) mod 20+2) (k>1)

实现：
CONST
pow2 : array [ 2 .. 21 ] of byte = (
4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24,
48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44,
88, 76, 52 );

Function pow_two( n : longint ) : byte { 计算2^n的后两位 }
Begin
if n = 1 then
begin
pow_two := 2;
exit;
end;
pow_two := pow2[ ( n - 2 ) mod 20 + 2 ];
End;

然后根据上述公式计算即可。

唉，为什么当时没有想到呢？！