一道线性代数的证明题，毫无头绪，求思路

[xyj19820205]

设A是一个n阶实对称矩阵，证明：秩（A）＝n的充分必要条件为存在一个n阶实对称矩阵B，使得AB＋B‘A是正定矩阵。

[大王派我去巡山]

如果没记错，类似的题你前几天刚问过。而且你又把题目写错了，错得都和上次一样。应该是“A'B+B'A正定”
你又不是在复习历史地理，着急背那么多题干嘛？静下心来真的弄清楚一道题目，比你盲目做十道题效果好得多。

充分性：
假设存在一个n阶实对称矩阵B，使得A'B＋B'A是正定矩阵
也就是说，对于任意X≠0，由于A'B＋B'A是正定矩阵，A是实对称矩阵，总有
X'(A'B＋B'A)X=(AX)'(BX)+(BX)'(AX)>0
由此，对于任意X≠0，恒有AX≠0，即AX=0只有零解，从而A可逆
所以r(A)=n

必要性：
n阶实对称矩阵A的秩r(A)=n，从而存在某正交矩阵B(B'=B^(-1))使得 B'AB=矩阵A特征值构成的对角矩阵
对任意X≠0，此时有Ax≠0、Bx≠0
所以x'(A'B+B'A)x=(AX)'(BX)+(BX)'(AX)>0
所以A'B+B'A正定

[arong1234]

r(A)=n, 且A是实对称的，===>则A^(-1)是实对称的，令B=A^(-1)，狠显然AB+B'A正定（因为他所有特征值都是2)

如果存在AB+B'A>0,
我们反正假设det(A)=0，因此我们可以找到一个矩阵P，使得P'AP为A的Jordan标准型
由于det(A)=0，因此A有特征值为0，所以P'AP必然是如下形式
diag(A1,A2,...,Ak)，其中Ak是0方阵，其他的Ai的形式为

a 1 0 0 0
0 a 1 0 0
0 0 a 1 0
0 0 0 a 1
0 0 0 0 a
其中a为A的一个特征值

因此P'(AB+B'A)P = P'APP^(-1)BP+P'BP'^(-1)P'AP
狠容易证明上面这个矩阵秩小于0，也就是AB+B'A也是秩小于0的，因此他必然不正定，因此反正假设不成立

[xyj19820205]

我绝对没抄错题目，“A'B+B'A正定”这个我已经会证明了，
我上回看的是大连理工出版的一本线性代数题库精编
这本是陈文登的复习指南，题目应该没错（两本书不大可能一个题的题目都打错了啥）

[xyj19820205]

我看过的线代教材都没有提到过“Jordan标准型”，我得先去了解一下这个知识点才能再看证明过程