一道线代小题，老是想不通

[xyj19820205]

在R^n中，对任一向量α，设α在基α1,α2,....,αn下的坐标为（x1,x2,....,xn),在基β1,β2,....,βn下的坐标为（y1,y2,......,yn),且两组基下的坐标有关系
y1=x1,y2=x2-x1,y3=x3-x2,.....,yn=xn-x(n-1)
求R^n的基变换公式。
参考标答：
（β1，β2,....,βn)=(α1,α2,.....,αn)*{1 0 0..............0.....0
1 1 0.......................0
1 1 1......................0
.....................................................
1 1 1.............1 0
1 1 1..............1 1}
我总觉得这个式子怎么看都不对，到底是怎么求的呢？

[arong1234]

基变换矩阵就是对基A,B，P满足B=AP
其中A是第一组基转置后为列向量构成的矩阵
B是第二组基转置后为列向量构成的矩阵

对于一个向量a，它由A,B表示的系数分别为x=(x1,...,xn),y=(y1,...,yn)
则a=Ax=By

根据你的题目，我们知道
Q=
1 0 0 ... 0
-1 1 0 ... 0
0 -1 1 ... 1
....
0 0... -1 1

则y=Qx

因为By=BQx=Ax
因为这对任意x成立，因此BQ=A

因此所求矩阵就是Q的逆

[arong1234]

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