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设f(x)在［0，＋∞）上连续单调增加，试证明对任意b>a>0,皆有∫（a,b)xf(x)dx≧[b∫(0,b)f(x)dx-a∫(0,a)f(x)dx]/2
我的过程：2∫（a,b)xf(x)dx≧b∫(0,b)f(x)dx-a∫(0,a)f(x)dx
2∫（a,b)xf(x)dx－b∫(a,b)f(x)dx≧b∫(0,a)f(x)dx-a∫(0,a)f(x)dx
∫（a,b)(2x-b)f(x)dx≧(b-a)∫(0,a)f(x)dx
令0<α<a<β<b
（2β－b)f(β)≧af(α)
从这开始，我就不知道咋算了
我的过程：2∫（a,b)xf(x)dx≧b∫(0,b)f(x)dx-a∫(0,a)f(x)dx
2∫（a,b)xf(x)dx－b∫(a,b)f(x)dx≧b∫(0,a)f(x)dx-a∫(0,a)f(x)dx
∫（a,b)(2x-b)f(x)dx≧(b-a)∫(0,a)f(x)dx
令0<α<a<β<b
（2β－b)f(β)≧af(α)
从这开始，我就不知道咋算了
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C1053710211 2008-07-05
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定积分的不等式一般可以用构造函数法来做
令F（x）=x∫（0,x)f(t)dt-2∫(x,a)tf(t)dt
F`(x)=∫(0,x)f(t)dt - xf(x) = x(f(α)-f(x)) 0<α<x 中值定理
又f(x)是增函数，所以F`(x)<0
F(b)<= F(a)
即 b∫（0,b)f(t)dt-2∫(b,a)tf(t)dt <= a∫（0,a)f(t)dt-2∫(a,a)tf(t)dt
即 b∫（0,b)f(t)dt-2∫(b,a)tf(t)dt <= a∫（0,a)f(t)dt
即 b∫（0,b)f(t)dt - a∫（0,a)f(t)dt <= 2∫(b,a)tf(t)dt
即 ∫（a,b)xf(x)dx≧[b∫(0,b)f(x)dx-a∫(0,a)f(x)dx]/2
令F（x）=x∫（0,x)f(t)dt-2∫(x,a)tf(t)dt
F`(x)=∫(0,x)f(t)dt - xf(x) = x(f(α)-f(x)) 0<α<x 中值定理
又f(x)是增函数，所以F`(x)<0
F(b)<= F(a)
即 b∫（0,b)f(t)dt-2∫(b,a)tf(t)dt <= a∫（0,a)f(t)dt-2∫(a,a)tf(t)dt
即 b∫（0,b)f(t)dt-2∫(b,a)tf(t)dt <= a∫（0,a)f(t)dt
即 b∫（0,b)f(t)dt - a∫（0,a)f(t)dt <= 2∫(b,a)tf(t)dt
即 ∫（a,b)xf(x)dx≧[b∫(0,b)f(x)dx-a∫(0,a)f(x)dx]/2
