高数里面关于定积分的，我的求法好像很有问题

[xyj19820205]

求∫（0，PI/4)lnsin2xdx的值。
我的过程：
令y=lnsin2x
sin2x=e^y
2x=arcsin(e^y)
x=arcsin(e^y)/2
dx=e^y/[2(1-e^2y)^(1/2)]dy
∫（0，PI/4)lnsin2xdx=∫(-∞,0)y*e^y/[2(1-e^2y)^(1/2)]dy
=-∫(0,-∞)y*e^y/[2(1-e^2y)^(1/2)]dy
=(-1/2)∫(0,-∞)ydarcsine^y
=(-1/2)*[yarcsine^y-∫arcsine^ydy](0,-∞)
=(1/2)∫(0,-∞)arcsine^ydy
令e^y=x
=(1/2)∫(1,0)arcsinx*lnxdx
=(1/2)∫(1,0)arcsinxd(xlnx-x)

一直这样算下去，结果极其复杂，而且最终答案不对，我哪里出错了吗，还是我所选的参数不对？

[C1053710211]

lnsinx这个函数的原函数不是初等函数，所以你想积出原函数再代入上下限是不能解出来的
这个题要用到这个性质∫（0，PI/2)f(sinx)dx = ∫（0，PI/2)f(cosx)dx
首先令t=2x,于是变为
(1/2)*∫（0，PI/2)lnsint dt = (1/4)*(∫（0，PI/2)lnsint dt + ∫（0，PI/2)lncost dt)
=(1/4)*[（∫0，PI/2)ln(sint*cost) dt]=(1/4)*[∫(0，PI/2)ln(sin2t)/2 dt]
=(1/4)*[∫(0，PI/2)ln(sin2t)dt - PI/8*ln2]
下面来算)∫(0，PI/2)ln(sin2t)dt
∫(0，PI/2)ln(sin2t)dt 令 x=2t
∫(0，PI/2)ln(sin2t)dt = (1/2)*∫(0，PI)ln(sinx)dx
=(1/2)*∫(0，PI/2)ln(sinx)dx + (1/2)*∫(PI/2，PI)ln(sinx)dx
=(1/2)*∫(0，PI/2)ln(sinx)dx + (1/2)*∫(0，PI/2)ln[sin(x+PI/2)]dx
=(1/2)*∫(0，PI/2)ln(sinx)dx + (1/2)*∫(0，PI/2)ln(cosx)dx
=∫(0，PI/2)ln(sinx)dx = (1/2)*∫(0，PI/2)ln[(sin2x)/2]dx
=(1/2)*∫(0，PI/2)ln(sin2x)dx - PI/4*ln2
于是∫(0，PI/2)ln(sin2t)dt = -PI/8*ln2
带回原式得到最后结果是-PI/4*ln2