菜鸟问题第3号

[puning]

有数列a[1..6]
3 2 1 7 6 5
可推出数列b[1..6]
0 0 0 3 3 3
b[i]==从a[i]到a[1]比a[i]下的数的个数.
问
1.怎样由A->B(白痴都会)
2.怎样由B->A(我的算法已有初步模型)
想请教各位高手!

[dongmen]

这道题是。。95年分区联赛
我用深度搜索了，shrug，有更好的吗？

[starfish]

有的有的，我做过的，等会儿我想想

[starfish]

想到了：）等一下我写出来

[CNer]

不是一般的才鸟哦。。。

[dongmen]

cry
我也是菜鸟

[starfish]

这个问题和一种计数法相联系，叫做“阶乘进制”。阶乘进制经常用来生成全排列，他可以用一个0~n!-1的整数表示一个1~n的全排列；经常在搜索中利用这种方法压缩数据，比如常见的一种8数码问题，他的一个状态可以用1~9的全排列来表示，如果按照一般的存储方式至少需要9个整数字长，但使用这种阶乘进制来压缩至需要一个整数就可以表示一个状态。

先说明一下阶乘进制的原理

因为
n! = n*(n-1)! = (n-1)*(n-1)! + (n-1)!
= (n-1)*(n-1)! + (n-2)*(n-2)! + (n-2)!
= (n-1)*(n-1)! + (n-2)*(n-2)! + ... + 2*2! + 1*1! + 1
所以
n! - 1 = (n-1)*(n-1)! + (n-2)*(n-2)! + ... + 2*2! + 1*1!
这就是说，0~n!-1中的任何一个整数可以表示为：
a[n-1]*(n-1)! + a[n-2]*(n-2)! + .. + a[2]*2! + a[1]*1!
这里 0 <= a[n-1] <= n-1, 0 <= a[n-2] <= n-2; ... 0 <= a[2] <= 2; 0<= a[1] <= 1
这样 0 ~ n!-1的任何一个整数都可以展开成为 (a[n-1], a[n-2], ... , a[2], a[1])
由于 0 <= ai <= i，因此可以理解成1~n个数的排列中，数 i+1 右边比它小的数的个数。因为比i+1小的数最多有i个。例如对于1~4的全排列而言，共有4! = 24种，
4!-1 = 3*3! + 2*2! + 1*1! = 23,
对于0~23的任何一个数，比如19，可以写作：
19 = 3*6 + 1 = 3*3! + 0*2! + 1*1!
这表示19对应于(3,0,1)，其中
a[3] = 3 表示排列中4的右边有3个数比它小；
a[2] = 0 表示排列中3的右边没有比它小的数；
a[1] = 1 表示排列中2的右边有1个数比它小；
这个排列就是 4213


根据阶乘进制生成排列的算法描述如下：


假设已经得到 A[1..n-1]（这一步很简单），其中A[i]就是阶乘进制中的系数，并且表示在最终生成的排列中数字i+1的右边有A[i]个数字小于i+1；

var
P: array [1..n] of integer; { 存放生成的排列 }
mark: array [1..n] of 0..1; { mark[i] = 1 表示 P[i]中已经放置了元素 }
A: array [1..n-1] of integer;{ 存放阶乘进制的系数 }

....

for i:=1 to n do mark[j] := 0; { 初始化 }

{ 注意体会这里downto的意义，因为从大到小确定数字，
要使i+1的右边有a[i]个小于他的数字，
只要使i+1的右边有a[i]个空格即可 }
for i:=n-1 downto 1 do
begin
j := n; m := 0;
repeat
if mark[j] = 0 then m := m + 1; { 记录空格数目 }
j := j - 1;
until m = a[i] + 1; { 一直找出a[i]+1个空格为止，最后一个空格用来放置i+1 }
j := j + 1; { j 多减了一次，现在加上 }

P[j] := i + 1;
mark[j] := 1;
end;

{ 下面找到数字1所放置的位置 }
j := 1;
while mark[j] = 1 do j := j + 1;
P[j] := 1;

for i:=1 to n do write(P[i]);
writeln;
....

[starfish]

上面的代码其实很简单的
这个问题是我初学编程时候就遇到的问题（阶乘进制），其实很简单。
阶乘进制在IOI97（好像是IOI97）的一道魔方类型的题目中用到，用来压缩存储状态。

[dongmen]

。。看起来很复杂

[puning]

我的算法比较类似动态规划
例 B-> 0,0,0,3,3,3
1：0
2：0 1
3：0 1 2
4：（0+1） （1+1） （2+1） 0
5：（0+1+1） （1+1+1） （2+1+1） 0 1
6：（0+1+1+1） （1+1+1+1） （2+1+1+1） 0 1 2
即 3 4 5 0 1 2
再用6减 (6-3) (6-4) (6-5) (6-0) (6-1) (6-2)
解为3 2 1 6 5 4