信息学试题求解

[idler]

Farmer John has three milking buckets of capacity A, B, and C liters. Each of the numbers A, B, and C is an integer from 1 through 20, inclusive. Initially, buckets A and B are empty while bucket C is full of milk. Sometimes, FJ pours milk from one bucket to another until the second bucket is filled or the first bucket is empty. Once begun, a pour must be completed, of course. Being thrifty, no milk may be tossed out.

Write a program to help FJ determine what amounts of milk he can leave in bucket C when he begins with three buckets as above, pours milk among the buckets for a while, and then notes that bucket A is empty.

PROGRAM NAME: milk3
INPUT FORMAT
A single line with the three integers A, B, and C.

SAMPLE INPUT (file milk3.in)
8 9 10

OUTPUT FORMAT
A single line that lists all the possible amounts of milk that can be in bucket C when bucket A is empty.

SAMPLE OUTPUT (file milk3.out)
1 2 8 9 10

SAMPLE INPUT (file milk3.in)
2 5 10

SAMPLE OUTPUT (file milk3.out)
5 6 7 8 9 10

[starfish]

你的这个问题和量水问题类似，该问题以前有人问过，我再贴一遍：

[量水问题]：
有三个分别装有a升水，b升水，c升水的量筒，其中a,b互质，c>b>a>0，现在c筒装满水，问能否在c筒中量出d升水(c>d>0)。若可以，给出方案。

解答：

所谓模数方程，就是模线性方程，即形如 ax ≡ b (mod c) 形式的方程，其中a,b,c是常数，x是自变量，这个方程表示ax mod c = b mod c，即ax和b模c同余。
这个量水问题，用模数方程解比较方便，具体算法分析如下。

量水过程实际上就是倒来倒去，每次倒的时候总有如下几个特点：
1。总有一个筒中的水没有变动；
2。不是一个筒被倒满酒是另一个筒被倒光；
3。c筒仅起到中转作用，而本身的容积除了必须足够装下a筒和b筒全部的水以外，别无其他的限制；
这样，假设整个倒水过程中对a筒倒满了x次，对b筒倒满了y次，则：
ax + by = d， （1）
上式的x,y为整数，而且既可以是正整数（表示该筒（a或b）被c筒的水倒满的次数），也可以是负整数（表示该筒（a或b）被倒满后又倒回到c筒的次数）。
一般可以用穷举法来解方程（1），但是这种方法局限性很大。我们可以将方程转化为：
ax = -by + d，
进一步变为
ax ≡ d (mod b)， （20
这样问题就变成了求解模数方程（2）的解的问题。解x的个数就是可行方案的总数。其中xi表示第i种方案中a筒倒满的次数，xi代入方程（1）后求出来的yi表示b筒倒满的次数。

例如：有三个量筒，a=3,b=7,c=10,求c筒中量出5升水的所有方案。
解方程 ： 3x ≡ 5 (mod 7) 得到 x1 = 4, y1=-1 和x2=-3, y2=2，
这两个解对应的倒水方案如下：

方案一： x1=4, y1=-1

次数 a b c 说明
1 0 0 10 初始状态
2 3 0 7 从c倒水到a中，把a倒满
3 0 3 7 从a倒水到b中，把a倒空
4 3 3 4 从c倒水到a中，把a倒满
5 0 6 4 从a倒水到b中，把a倒空
6 3 6 1 从c倒水到a中，把a倒满
7 2 7 1 从a倒水到b中，把b倒满
8 2 0 8 从b倒水到c中，把b倒空
9 0 2 8 从a倒水到b中，把a倒空
10 3 2 5 从c倒水到a中，把a倒满
11 0 5 5 从a倒水到b中，把a倒空

整个过程中，一共有4次“从c倒水到a中，把a倒满”，有1次“从b倒水到c中，把b倒空”；


方案二： x2=-3, y2=2

次数 a b c 说明
1 0 0 10 初始状态
2 0 7 3 从c倒水到b中，把b倒满
3 3 4 3 从b倒水到a中，把a倒满
4 0 4 6 从a倒水到c中，把a倒空
5 3 1 6 从b倒水到a中，把a倒满
6 0 1 9 从a倒水到c中，把a倒空
7 1 0 9 从b倒水到a中，把b倒空
8 1 7 2 从c倒水到b中，把b倒满
9 3 5 2 从b倒水到a中，把a倒满
10 0 5 5 从a倒水到c中，把a倒空

整个过程中，一共有3次“从a倒水到c中，把a倒空”，有2次“从c倒水到b中，把b倒满”；

至于其中解模数方程的方法，一些关于数论的书上有介绍，说起来也比较麻烦，有很多的定理公式，我直接给出一个程序吧：

==========================================================
c 语言的程序：
==========================================================

/********************************************

求解模线性方程 ax=b (mod n) ,n>0
copyright starfish
2000/10/24

*********************************************/

void modular_linear_equation_solver(int a, int b, int n)
{
int e,i,d;
int x,y;
d = ext_euclid(a, n, x, y);
if (b%d>0) {
printf("No answer!\n");
} else {
e=(x*(b/d))%n;
for (i=0; i<d; i++) //notice! Here x maybe less than zero!
printf("The %dth answer is : %ld\n",i+1,(e+i*(n/d))%n);
}
}


其中用到的ext_euclid 函数如下：

/*********************************************

扩展欧几里德算法求gcd(a,b)=ax+by

copyright starfish
2000/10/24

*********************************************/

int ext_euclid(int a,int b,int &x,int &y)
{
int t,d;
if (b==0) {x=1;y=0;return a;}
d=ext_euclid(b,a %b,x,y);
t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return d;
}


==========================================================
pascal语言的程序：
==========================================================

{=== 扩展的欧几里德算法，求出gcd(a,b)和满足gcd(a,b)=ax+by的整数x和y ===}
function extended_euclid(a,b:longint;var x,y:longint):longint;
var
t:longint;
begin
if b=0 then
begin
result:=a;
x:=1;
y:=0;
end
else
begin
result:=extended_euclid(b,a mod b,x,y);
t:=x;
x:=y;
y:=t-(a div b)*y;
end;
end;

{=== 求解模线性方程 ax ≡ b (mod n) 其中n>0 ===}
procedure modular_linear_equation_solver(a,b,n:longint);
var
d,x,y,e,i:longint;
begin
d:=extended_euclid(a,n,x,y);
if b mod d>0 then
writeln('No answer!') {输出无解信息}
else
begin
e:=x*(b div d)mod n;
for i:=0 to d-1 do
writeln( (e+i*(n div d)) mod n ); {输出第i个解 }
end;
end;

[dongmen]

海星大哥果然眼疾手快，资料充备:)

[starfish]

呵呵，过奖：）

[idler]

这个问题我看到过，但是这道题目被归类在“Dynamic Programming”里面我不知道是什么意思。

[starfish]

TO: idler
这是USACO的练习题吧？
我也不知道他为什么归到dp中，是不是可以用dp?

[idler]

这种方法在这里不适用。

例:
A=8 B=9 C=10 d = 3
8x mod 9 = 3 mod 9
此时x=6有解，但这些桶是得不到3升的（见原题）。
最后的分析中说用的是搜索。我倒！
难道没有更好的方法吗？