算法！凸多边形最优三角剖分！请高手帮忙！

hnbalp 2008-10-12 09:53:49

有关“凸多边形最优三角剖分的问题”，这是《计算机算法设计与分析》（王晓东编著第三版）第三章“动态规划”中的一道例题，代码如下：

“Point.h”

class Point{

public:

	int x;

	int y;

};



"MWTri.cpp"

#include<iostream>

#include"math.h"

#include"Point.h"

using namespace std;



#define MAX 100



int t[MAX][MAX];

int s[MAX][MAX];



int w(Point pt1,Point pt2,Point pt3){



	int d1=(int)sqrt((pt2.y-pt1.y)*(pt2.y-pt1.y)+(pt2.x-pt1.x)*(pt2.x-pt1.x));

	int d2=(int)sqrt((pt3.y-pt1.y)*(pt3.y-pt1.y)+(pt3.x-pt1.x)*(pt3.x-pt1.x));

	int d3=(int)sqrt((pt3.y-pt2.y)*(pt3.y-pt2.y)+(pt3.x-pt2.x)*(pt3.x-pt2.x));

	return d1+d2+d3;

}



void MinWeightTriangulation(Point * point,int n,int t[][MAX],int s[][MAX]){



	for(int i=1;i<=n;i++) t[i][i]=0;

	for(int r=2;r<=n;r++)

		for(int i=1;i<=n-r+1;i++){

			int j=i+r-1;

			t[i][j]=t[i+1][j]+w(point[i-1],point[i],point[j]);

			s[i][j]=i;

			for(int k=i+1;k<j;k++){

				int u=t[i][k]+t[k+1][j]+w(point[i-1],point[k],point[j]);

				if(u<t[i][j]){

				

					t[i][j]=u;

					s[i][j]=k;

				}

			}

		}



}



void main(){



	Point pt[5];

	pt[0].x=4;

	pt[0].y=1;

	pt[1].x=3;

	pt[1].y=2;

	pt[2].x=2;

	pt[2].y=2;

	pt[3].x=1;

	pt[3].y=1;

	pt[4].x=1;

	pt[4].y=0;

	//pt[5].x=4;

	//pt[5].y=1;

    

	/*for(int m=1;m<=4;m++)

		for(int n=1;n<=4;n++)

			s[m][n]=0;*/



	MinWeightTriangulation(pt,4,t,s);

	for(int m=1;m<=4;m++)

		for(int n=1;n<=4;n++)

			cout<<m<<" "<<n<<" "<<s[m][n]<<endl;

		







}

程序运行结果如下：



1 1 0

1 2 1

1 3 1

1 4 1

2 1 0

2 2 0

2 3 2

2 4 2

3 1 0

3 2 0

3 3 0

3 4 3

4 1 0

4 2 0

4 3 0

4 4 0

Press any key to continue

最后在构造最优解的时候，根据书中所述的“s[i][j]记录了Vi-1和Vj一起构成三角形的第3个顶点的位置。”，然后再根据最后的各个s[i][j]的值，再构造三角形时，在凸多边形内会有弦相交。
是我将算法生成代码的过程中出现了问题呢，还是根据s[i][j]来构造三角时出了问题？
请帮忙，多谢！

...全文

1614 6 打赏收藏转发到动态举报

写回复

用AI写文章

6 条回复

切换为时间正序

请发表友善的回复…

发表回复

zzutom 2008-11-07

打赏
举报

暂无答案，准备结贴，多谢大家~~

frisky_lobo 2008-10-18

打赏
举报

时间真充裕啊

帅得不敢出门 2008-10-18

打赏
举报

OutIT人 2008-10-17

打赏
举报

mark ..

glacier3d 2008-10-17

打赏
举报

动态规划问题，
组合数学生成函数法求解几何问题是也有类似剖分问题

baihacker 2008-10-12

打赏
举报

#include	"windows.h"

#include	<iostream>

using	namespace	std;



/*

  问题描述:

		把多边形0,...,n-1剖分成n-2个三角形,求给定的权值最小

		本程序定义权为:剖分弦的长度和

  程序功能:

		用两种方法求解上述问题(针对任意权的和针对本问题的)

		解法本质都是动态规划

     PS   :	

		动态规划很难,本程序难免会有错误,但是基本思路是正确的

		注释得很详细了

*/



const	V	=	5;//5个顶点



void	LoadData(float dist[][V]);

/*

  解法1:

		重新定义权为:剖分弦的长度和加上多边形的周长(显然等价),重新求解

		本函数还适用于任何定义在剖分后的三角形上的权的情况(修改一下)

		例如权为三角形的面积的面积平方和

*/

void	minWeightTriangulation1(int n, float dist[][V], float t[][V], int s[][V]);

void	ShowSolution1(int s[][V], int i, int j);



/*

  解法2:

		针对此问题的求解方法,不具有普遍适用性

*/

void	minWeightTriangulation2(int n, float dist[][V], float t[][V+1], int s[][V+1]);

void	ShowSolution2(int s[][V+1], int i, int j);



void	end();



int	main()

{

	float	dist[V][V];



	float	t1[V][V];

	int	s1[V][V];



	float	t2[V+1][V+1];

	int	s2[V+1][V+1];



	LoadData(dist);

	

	minWeightTriangulation1(V, dist, t1, s1);

	cout<<"最优剖分权:"<<t1[1][4] - 2 - 1.414 * 3<<"\t剖分弦:\t";//要减去周长

	ShowSolution1(s1, 1, 4);

	cout<<endl;



	minWeightTriangulation2(V, dist, t2, s2);

	cout<<"最优剖分权:"<<t2[0][5]<<"\t剖分弦:\t";

	ShowSolution2(s2, 0, 5);

	cout<<endl;



	

	return	0;

}



void	LoadData(float	dist[][V])

{

	dist[0][1] = dist[1][0] = 1;

	dist[1][2] = dist[2][1] = 1;

	dist[2][3] = dist[3][2] = 1.414;

	dist[3][4] = dist[4][3] = 1.414;

	dist[4][0] = dist[0][4] = 1.414;

	dist[0][2] = dist[2][0] = 1.414;

	dist[0][3] = dist[3][0] = 2;

	dist[1][3] = dist[3][1] = 2.236;

	dist[1][4] = dist[4][1] = 2.828;

	dist[2][4] = dist[4][2] = 2;

}



float	Weight(float dist[][V], int i, int j, int k)

{

	return dist[i][j] + dist[j][k] + dist [k][i];

}



void	minWeightTriangulation1(int n, float dist[][V], float t[][V], int s[][V])

{

/*

	t[i][j]表示顶点为i-1,i,...,j的多边形的最优三角剖分值

	s[i][j]表示顶点为i-1,i,...,j的多边形的最优三角剖分方法,剖分点为s[i][j]

	退化情况1:s[i][j]==i   剖分成 三角形i-1,i,j    和 多边形i,...,j

	退化情况2:s[i][j]==j-1 剖分成 多边形i-1,...,j-1和 三角形i-1,j-1,j

	一般情况:k = s[i][j]   剖分成 多边形i-1,...,k  和 多边形 k,...,j

	权的定义:多边形的周长+剖分的弦长,所以对两种特殊情况进行了处理

*/

	for (int i = 1; i < n; i++)

		t[i][i] = 0;//只有两个顶点认为权是0

	for (int r = 2; r < n; r++)//r+1边形

	{

		for (i = 1; i <= n - r; i++)

		{

			int j = i + r -1;

			/*当i-1,i,j是相邻三个顶点时(r==2),权为

			  t[i+1][j] + Weight(dist, i-1, i, j)

			  否则,权为

			  t[i+1][j] + Weight(dist, i-1, i, j) - dist[i][j]

			  因为t[i+1][j]和eight(dist, i-1, i, j)分别计算了

			  一次dist[i][j]

			*/

			t[i][j] = t[i+1][j] + Weight(dist, i-1, i, j) -

				(r==2?0:dist[i][j]);

			s[i][j] = i;



			for (int k = i + 1; k < j; k++)

			{/*

			   当取剖分i-1,j-1时权为

			   t[i][k] + t[k+1][j] + dist[i-1][j] + dist[k][j]

			   因为t[k+1][j]退化,权为0,故把边dist[k][j]补上

			   否则权为t[i][k] + t[k+1][j] + dist[i-1][j]

			 */

				float u = t[i][k] + t[k+1][j] + dist[i-1][j] +

					(k+1==j?dist[k][j]:0);

				if (u<t[i][j])

				{

					t[i][j] = u;

					s[i][j] = k;

				}

			}

		}

	}

}



void	ShowSolution1(int s[][V], int i, int j)

{

	if (i + 1 >= j)	return;

	int k = s[i][j];



	if (k == i)

	{//退化情况1:s[i][j]==i   剖分成 三角形i-1,i,j    和 多边形i,...,j

		cout<<'('<<i<<','<<j<<") ";

		ShowSolution1(s, i+1, j);

	}

	else

		if (k==j-1)

		{//退化情况2:s[i][j]==j-1 剖分成 多边形i-1,...,j-1和 三角形i-1,j-1,j

			ShowSolution1(s, i, j-1);

			cout<<'('<<i-1<<','<<j-1<<") ";

		}

		else

		{//一般情况:k = s[i][j]   剖分成 多边形i-1,...,k  和 多边形 k,...,j

			ShowSolution1(s, i, k);

			cout<<'('<<i-1<<','<<k<<") ";

			cout<<'('<<k<<','<<j<<") ";

			ShowSolution1(s, k+1, j);

		}

}



float	Distance(float dist[][V], int i, int j)

{

	if (i == (j + 1)%V || j == (i +1)%V)

		return 0;

	return dist[i][j];

}



void	minWeightTriangulation2(int n, float dist[][V], float t[][V+1], int s[][V+1])

{

/*

   t[i][j]表示从顶点i开始的j个顶点围成的多边形(j边形)的最优剖分的权

   s[i][j]表示从顶点i开始的j个顶点围成的多边形(j边形)的最优剖分的方法,

   剖分点为 i + s[i][j]

   退化情况1:s[i][j]==1  剖分成 三角形i,i+1,i+j-1 和 多边形 i+1,...,i+j-1

   退化情况2:s[i][j]==j-2剖分成 多边形i,...,i+j-2 和 三角形 i,i+j-2,i+j-1

   一般情况 :k = s[i][j] 剖分成 多边形i,...,i+k   和 多边形 i+k,...,i+j-1

 */

	const	MAX	=	10000;

	float	temp, q;

	int	kk;

	

	for (int k = 0; k < n; k++)

	{

		t[k][2] = 0;

		t[k][3] = 0;

	}



	for (int r = 4; r <= n; r++)

		for (int i = 0; i < n; i++)

		{

			for (q = MAX, kk = 1; kk <= r - 2; kk++)

			{/*

			   划分成子问题 

			   多边形i,...,i+kk 和 多边形 i+kk,...,i+r-1

			   划分弦为 (i, ((i+kk)%n) 和 ((i+kk)%n, (i+r-1)%n)

			   由于Distance函数中相邻弦长度为0,故退化情况自动包含

		         */

				temp = t[i][(kk+1)%n] + t[(i+kk)%n][(n+r-kk)%n] + 

					Distance(dist, i, ((i+kk)%n) ) +  

					Distance(dist, (i+kk)%n, (i+r-1)%n);

				if (temp < q)

				{

					k = kk;

					q = temp;

				}

			}

			t[i][r] = q;

			s[i][r] = k;

			if (r==n) break;//一旦r==n可以马上跳出本层循环

		}

}



void	ShowSolution2(int s[][V+1], int i, int j)

{

	if (j<=3)	return;



	int k = s[i][j];

	if  (k==1)

	{//退化情况1:s[i][j]==1  剖分成 三角形i,i+1,i+j-1 和 多边形 i+1,...,i+j-1

		cout<<'('<<i+1<<','<<i+j-1<<") ";

		ShowSolution2(s, i+1, j-1);

	}

	else

		if (s[i][j]==j-1)

		{//退化情况2:s[i][j]==j-2剖分成 多边形i,...,i+j-2 和 三角形 i,i+j-2,i+j-1

			cout<<'('<<i<<','<<i+j-1<<") ";

			ShowSolution2(s, i, j-1);

		}

		else

		{//一般情况 :k = s[i][j] 剖分成 多边形i,...,i+k   和 多边形 i+k,...,i+j-1

			ShowSolution2(s, i, k+1);

			cout<<'('<<i<<','<<i+k<<") ";

			ShowSolution2(s, i+k, j-k);

			cout<<'('<<i+k<<','<<i+j-1<<") ";

		}

}