计算性理论学习总结
bbvs1 2008-11-10 08:14:23 最近学习计算性,经过一番研读,学习总结如下,请大家指教:
递归函数集合(经典算法集合或可计算程序集合)<递归可枚举集(丢番图方程集合)<数学证明体系(足够强的,不可判定)≤逻辑公理、推理体系。
1.递归函数集合:由基本函数(零函数、后继函数、恒同函数)通过基本推理(复合、原始递归、lambda 演算)可以得到庞大的定理体系--递归函数集合,这个体系集合里的所有函数都是递归函数,每个递归函数都是图灵可计算的,所以,这个体系就是可计算体系(也可以说是图灵可计算)。
2.通过证明,图灵可计算过程(经典计算过程),即在无限长纸带上按照五元组(程序编码)读、写、擦、停止的过程,等价于递归函数过程。所有按照这个过程运行的机器都是图灵机,例如:电冰箱、洗衣机控制系统,电力、水力控制系统,通用图灵机。每个递归函数都能通过编码添加变量,所以存在递归函数的通用函数,通用图灵机就是这样诞生的,也就是目前可编程的计算机,能运行任何递归函数过程,所有图灵机的运行过程,现在流行的虚拟机也是图灵过程的更高阶应用。
3.递归可枚举集包含了那些不可计算过程的集合,图灵机并不能判定一些我们看来是错误的悖论,例如,理发师悖论,(0=0后继)为真等,可以证明,存在非递归的递归可枚举集,而递归函数过程只能产生那些我们认为是真的结论,不能产生假的陈述。
4.也许数学证明体系等同于自然现象、生物现象、量子混沌、自行编程过程、人的心灵过程,这是我们能达到的地方,也许是我们制造如何超越图灵机、人工智能的极限,孤立的图灵机并不能产生新的递归过程,即广义的自行编程,只能借助外部的随机量或不确定性,如:风、蜜蜂、粒子性、人的思考可以写出新的程序,或者将上述任何与图灵机包含进一个系统。
5.足够强的数学系统,也许等同于逻辑公理、推理体系,连我们也不能判定,因为我们只有弱的理论证明工具,有些不可枚举集合(如实数集)的结论,比如,cantor连续统假设。
6.如果你发现了能够实现产生真陈述的又能产生假陈述的算法,或者描述第4点所说的过程的递归过程的逻辑表达,
please tell me。