请问如何证明算法复杂度加法运算法则

[jackyyb]

如题：证明Ο(f)+ Ο(g)=Ο(f +g）

[Super.Jiju]

O(f)=ax^n;
O(g)=bx^m;
O(f)+O(g)=ax^n+bx^m;
=O(f+g)

[大王派我去巡山]

设F(x)是O(f)的，根据定义可知，必存在常数C1>0和x1，使得当x>x1时0<F(x)<=c1*f(x)成立；
设G(x)是O(g)的，同样根据定义，必存在常数C2>0和x2，使得当x>x2时0<G(x)<=c2*g(x)成立；
令x0=max{x1,x2}，c0=max{c1,c2}，
当x>x0时一定有F(x)+G(x)<=c1*f(x)+c2*g(x)<=c0*(f(x)+g(x))
所以说O(f)+O(g)=O(f+g)

[jackyyb]

[Quote=引用 2 楼 dlyme 的回复:]
设F(x)是O(f)的，根据定义可知，必存在常数C1>0和x1，使得当x>x1时0 <F(x) <=c1*f(x)成立；
设G(x)是O(g)的，同样根据定义，必存在常数C2>0和x2，使得当x>x2时0 <G(x) <=c2*g(x)成立；
令x0=max{x1,x2}，c0=max{c1,c2}，
当x>x0时一定有F(x)+G(x) <=c1*f(x)+c2*g(x) <=c0*(f(x)+g(x))
所以说O(f)+O(g)=O(f+g)
[/Quote]
请问从当x>x0时一定有F(x)+G(x) <=c1*f(x)+c2*g(x) <=c0*(f(x)+g(x)) 如何就能得出O(f)+O(g)=O(f+g)
能否解释一下如何从“<=”变成“=”

[大王派我去巡山]

[Quote=引用 3 楼 jackyyb 的回复:]
能否解释一下如何从“<=”变成“=”
[/Quote]
直接从大O符号定义来的~
任意F是O(f)的，任意G是O(g)的，F+G是O(f+g)的，就意味着O(f)+O(g)是O(f+g)的。
这里的大O符号是个定性的说法，它实际上表述的是满足某种要求的函数的集合。
证明集合O(f)+O(g)中每个元素都是O(f+g)的就可以了。

O(f)+O(g)=O(f+g)
这里的“=”更多的是种信息描述，代表前面集合中的元素都属于后面的集合。
这种表述方法并不严谨，也并不代表实际的“大小相等”的关系。

[jackyyb]

谢谢楼上的，明白了。