包含重复元素的全组合

[liangbch]

题目要求：一个数组中，包含n个元素，可能包含重复元素，这n个元素按照非递减顺序排列，求从这n个元素中取出m个元素的所有组合？
为了方便起见，定义程序接口如下：

int allCombo(int data[], int n, int m);

运行这个函数allCombo时，应该能够打印出所有组合，并返回组合的个数

例如：
data[]={2,2,3,3,5}
运行 allCombo(data,5,3) 应该能够显示下列组合。
{2,2,3}
{2,2,5}
{2,3,3}
{2,3,5}
{3,3,5}

[大王派我去巡山]

回到这个问题本身。写了段代码，还有很大优化余地：

#include<iostream>
using namespace std;

bool nextcomb(int *data, int *p, int n, int m)
{
	int last = n-1;
	int i, j, k, temp;

	i = last;
	while(i>0 && !(p[i-1]==1 && p[i]==0))
		i--;

	if(i == 0)
		return false;

	p[i]=1;
	p[i-1]=0; 
    
	if( data[i] == data[i-1] )
	{
        return nextcomb(data,p,n,m);
	}
	else
	{
        for(j=last, k=i+1; k<j; k++,j--)
		{  
		    temp = p[k];
		    p[k] = p[j];
		    p[j] = temp;
		}
		for(int h=0; h<n; h++)
		{
			if(p[h]==1) cout<<data[h]<<"  ";
		}
		cout<<endl;
		return true;
	}
}

int allCombo(int data[], int n, int m)
{
	int i;          
	int *p = new int[n];  
	for(i=0; i<m; i++)
	{
		p[i]=1;
		cout<<data[i]<<"  ";
	}
	cout<<endl;
	for(i=m; i<n; i++)
		p[i]=0;
	int count = 1;        
	while( nextcomb(data,p,n,m) )
	{
		count++;
	}
	delete p;
	return count;
}

int main()
{
	int data[]={2,2,3,3,5};
    cout<<"共有"<<allCombo(data, 5, 3)<<"种";
	return 0;
}

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[liangbch]

那你这个程序怎么写，难道3个质因数就写一个3重循环，5个质因数就来个5重循环，这样的程序不通用。

当然，我也可以写一个通用的while()循环，可以处理任意层循环，这是其中的一种方法，枚举每个组合也是一种算法。所谓条条大路通罗马。

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[medie2005]

求因数不用这么复杂，是一个混合进制的问题。
以{2,2,3,3,5}为例,混合进制是{2,2,1}，即：个位满1进1；十位满2进1；百位满2进1。
而n个元素中取出m个元素的多重组合，也是一个带约束的混合进制问题。

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[大王派我去巡山]

“因素”==>“因子”？

如果是求某个整数的所有因子，那是象7L说的，素数分解之后指直接将次数加一相乘就得出结果了。

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[medie2005]

这样的问题，说难也难，说简单也简单，liangbch如果有时间的话，可以看看taocp卷四，csdn上有，我上传过的。

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[medie2005]

呵呵，{2,2,3,3,5}的混合进制应该是{3,3,2}。
因此，一个循环搞定.

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[liangbch]

我在 那个 求一个数所有因数的帖子， 18楼给出完整代码。大家帮我看看，是否有改进的地方。

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[tailzhou]

[Quote=引用 14 楼 medie2005 的回复:]
呵呵，{2,2,3,3,5}的混合进制应该是{3,3,2}。
因此，一个循环搞定.
[/Quote]

以前写的一个实现:
http://topic.csdn.net/u/20080630/19/11e24ad4-ffe3-4278-8091-aa1c3e598a95.html

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[绿色夹克衫]

减少进位可以将较大的进位排在后面,比如{5,4,3,3,2}排成{2,3,3,4,5}

进位次数大概是2*3*3*4*1 + 2*3*3*2 + 2*3*3 + 2*4

整体复杂度应当不会翻倍，反正我也不是那么追求效率。

[Quote=引用 17 楼 medie2005 的回复:]
呵呵，我来扩展一下吧。

对求n的所有因子的问题，如上所说，我们可以转化为一个混合进制的问题。
现在，我们来考虑实现技巧。

显然，如果直接模仿10进制的进位操作，那么，可能在得到下一个数的时候，需要多次进位。
比如，混合进制{3,3,2}。 那么，在这个混合进制下，对121来说，下一个数是200。可以看到，在得到200的过程中，进位发生了两次，同时也要比较三次。

如何使从上一个数到下一个数的操作尽量少？我们…
[/Quote]

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[medie2005]

对小的情形来说，自然体现不出优势。
我们考虑从0自增到2^30的过程中，在二进制形式下，一共发生了多少次进位。
经计算，是1073741823次。
而使用Gray Code生成，我们就可以至少省掉这1073741823次进位。

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[medie2005]

呵呵，我来扩展一下吧。

对求n的所有因子的问题，如上所说，我们可以转化为一个混合进制的问题。
现在，我们来考虑实现技巧。

显然，如果直接模仿10进制的进位操作，那么，可能在得到下一个数的时候，需要多次进位。
比如，混合进制{3,3,2}。 那么，在这个混合进制下，对121来说，下一个数是200。可以看到，在得到200的过程中，进位发生了两次，同时也要比较三次。

如何使从上一个数到下一个数的操作尽量少？我们考虑Gray Code.
一般意义下的Gray Code是二进制的，它满足：上个码与下一个码的组成中仅仅只有一位发生变化。

对混合进制而言，是否也有这样的"Gray code"？如果有，如何构造？

如果解决了上面这两个问题，我们就有一个效率很完美的实现了。

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[tailzhou]

1073741823大约是2^30;
进位的次数(2^30) 相对于 组合的输出的操作次数（30*2^30）来讲是很小的；

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[liangbch]

同意楼上，进位处理应该不是瓶颈。

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[绿色夹克衫]

看了一下gray code(格雷码),确实有他简单的地方，且在本题当中，丝毫不影响输出的结果，只是输出的顺序有些变化。

以3,3,2为例，gray code为：

000 001 011 010 020 021 121 120 110 111 101 100 200 201 211 210 220 221

虽然进位简单了，但进位时的比较次数似乎并没有减少。

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[medie2005]

如果考虑输出，那就太没意思了。

我这里的意思仅仅是想精益求精罢了。

实质上，对生成组合模式而言，如果想要完美的效率，一般都要考虑Gray Code。

至于litaoye说的进位时的比较次数似乎并没有减少，这个依赖于实现，实质上，每次只需要一次加法，一次比较。如不考虑输出，效率上完全可以翻倍。

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[fenix124]

简单的说就是有N个数，每个数的数目不妨设为Y[i]。
计算sum(X[i]) = C(C为组合的大小)，在限制X[i] <= Y[i]的解的个数

解法有很多，有DP,母函数法等。

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[fenix124]

//好歹也给出了个程序，给点分吧
//复杂度很低

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define MAXN 10000
int count[MAXN];
int countlen;

int rollA[MAXN+1];
int rollB[MAXN+1];

void initcount(int data[],int n)
{
int i,j,c;
c = 1;
for(i = 1,j = 0;i < n;i++)
{
if(data[i] != data[i-1])
{
count[j] = c;
j++;
c = 1;
}
else
{
c++;
}
}
count[j] = c;
countlen = j+1;
}

void getCombo(int ra[],int rb[],int m,int dep)
{
int i,j;
rb[0] = 1;
for(i = 1;i <= m;i++)
{
rb[i] = 0;
for(j = 0;j <= count[dep] && i-j >= 0;j++)
rb[i] += ra[i-j];
}
}

int allCombo(int data[], int n, int m)
{
int i;
initcount(data,n);
rollA[0] = 1;
for(i = 0;i < countlen;i++)
{
if(i%2 == 1)
{
getCombo(rollB,rollA,m,i);
}
else
{
getCombo(rollA,rollB,m,i);
}
}
if(i%2) return rollB[m];
else return rollA[m];
}

int main()
{
int data[]={2,2,3,3,5};
printf("%d\n",allCombo(data, 5, 3));
return 0;
}

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[fenix124]

其实就是某楼说的DP,同时减少了点空间负责度

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[hityct1]

mark

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[ringming]

帮顶了！ 学习

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