两个高数小题

[cg_2004]

试证明
∑(n=1,∞)1/n^2=PI^2/6

∫(1,∞)sint/tdt=PI/2

[C1053710211]

第一个题有好多方法,提供一个傅立叶级数的方法,
将分段函数f(x)= -x ,-PI <= x < 0,
x , 0 <= x < PI 展开成傅立叶级数
an = 1/PI *∫(-PI,PI)f(x) cosnx dx = 2/(PI*n^2)(cosnPI - 1) = -4/(PI*n^2),n =1,3,5,... ,当n为偶数时an=0
a0 = 1/PI *∫(-PI,PI)f(x)dx = PI
函数是偶函数bn = 0
所以f(x) = PI/2-4/PI(cosx + 1/3^2*cos3x + 1/5^2*cos5x + ...)
将x=0带入到f(x)中，有I1 = 1 + 1/3^2 + 1/5^2 + .... = PI^2/8
令原式为I0，令I2 = 1/2^2 + 1/4^2 + 1/6^2 + ...,于是I0 = I1 + I2
又I0 = 4*I2 于是I0 = I1 + I0/4，故I0 = 4/3*I1 = 4/3 * PI^2/8 = PI^2/6

第二个题lz你有写错题干了吧，这是一个比较经典的结论，应该是∫(0,∞)sint/tdt=PI/2
首先引进一个积分因子∫(0,∞)e^(-xt)dx = 1/t，
于是∫(0,∞)sint/tdt = ∫(0,∞)sint(∫(0,∞)e^(-xt)dx)dt 交换积分次序
= ∫(0,∞)∫(0,∞)sint*e^(-xt)dtdx 对∫(0,∞)sint*e^(-xt)dt 两次分部积分得到∫(0,∞)sint*e^(-xt)dt = 1/(1+x^2)
于是原式 = ∫(0,∞)1/(1+x^2)dx = arctanx 带上下限得PI/2

[C1053710211]

第一个题是一个世界难题，是欧拉第一个证明出来的，更为伟大的是得到的结果中居然含有PI,这在那个时代是不可以想象的，
如果LZ有兴趣可以上网搜索一下，欧拉的方法十分巧妙，真的是天才，伟大的欧拉

[arong1234]

记得第一题的结论是密码学内猜测质数理论的基础。