[100分]背包问题的算法（思路易可）

[jryu2k5]

已知：有无限个标准背包B,容量为BMax
还有剩余背包B1,B2....BN个，其剩余容量分别为R1,R2...RN
现有物品W1,W2....WN个，其体积为V1,V2...VN，个数为A1,A2...AN
求：一方案将所有的物品都装进背包且要求用于装物品的背包的剩余空间最少。


PS：不是求近似的最优解，而是直接求最优解的算法，而且算法不能太耗时，应为物品的数量可能在1k或以上。

[格拉]

运筹学里的东西,抱歉,专业没学好

[wuyi8808]

这个应该到算法版去提问：https://forum.csdn.net/SList/ST_Arithmetic

[teerhu]

背包问题的贪心算法
/**
*
*/

/**
* @author Administrator
*
*/
/**
* 背包问题 ----
* 已知有n种物品和一个可容纳M重量的背包，每种物品i的重量是w[i]。假定将物品i的一部分x[i]放入背包就会得到p[i]x[i]的效益，这里，
* 0<=x[i]<=1,p[i]>0.采用怎样的方法才能使装包的效益最大呢？
* 考虑以下情况下的背包问题：n = 3,M = 20,(p0,p1,p2) = (25,24,15),(w0,w1,w2) =
* (18,15,10).其中的4个可行解是
* （x0,x1,x2） w0x0 + w1x1 + w2x2 p0x0 + p1x1 + p2x2
* (1/2,1/3,1/4) 16.5 24.25
* (1,2/15,0) 20 28.2
* (0,2/3,1) 20 31
* (0,1,1/2) 20 31.5
* 在这4个可行解中第四个的效益值最大。 定理：如果 p1/w1>=p2/w2>=...>=pn/wn,则算法对于给定的背包问题实例生成一个最优解。 证明：
* 设X= （x1,...,xn）是最优解。如果所有的xi = 1,显然这个解是最优解。于是，设j是使xj != 1 的最小下标。由算法可知，对于1<=i<=j
* ,xi=1;对于 j<i<=n,xi =0;对于j, 0<=xj<1.如果X不是一个最优解，则必定存在一个可行解Y=（y1,...yn）,使得
* piyi > pixi.不失 一般性，可以假定 wiyi =M.设k是使得yk!=xk的最小下标。显然，这样的k必定存在。由上面的假设，可以推得yk<xk.
* 这可从3种可能发生的情况，即k<j,k=j,k>j分别得到证明： （1）若k<j,则xk = 1.因yk!=xk,从而yk<xk. (2)若k=j ,由于 ∑wjxi =
* M,且对1<=i<j,有xi=yi=1,而对j<i<=n,有xi =0.若yk>xk,显然有∑wiyi>M,与Y是可行解矛盾。若yk=xk
* ,与假设yk!=xk矛盾，故yk<xk. (3)若k>j,则∑wiyi>m,这是不可能的。
* 现在，假定把yk增加到xk，那么必须从(yk+1,...,yn)中减去同样多的量，使得所有的总容量仍是M。这导致一个新的解Z=(z1,...zn),
* 其中，zi = xi , 1<=i<=k,并且∑(k<i<=n)wi(yi-zi)= wk(zk-yk).因此，对于Z有
* ∑pizi = ∑piyi + (zk-yk)wkpk/wk-∑(k<i<=n)(yi-zi)wipi/wi
* >= ∑piyi +[(zk-yk)wk-∑(yi-zi)wi]pk/wk
* = ∑piyi
* 如果∑pizi>∑piyi,则Y不可能是最优解。如果这两个和数相等，同时Z=X，则X就是最优解；若Z！=X，则重复上面的讨论，或者证明Y不是最
* 优解，或者把Y转换成X，从而证明了X也是最优解。证毕。
*/
public class BinSerch {
//对数组buf降序排列 同时 index 数组记录排序前的数组索引
public static void order(double[] buf, int[] index) {
int count = 1;
while (count++ < buf.length) {
for (int i = buf.length - 1; i > 0; i--) {
if (buf[i] > buf[i - 1]) {
double temp = buf[i];
buf[i] = buf[i - 1];
buf[i - 1] = temp;
int temp1 = index[i];
index[i] = index[i - 1];
index[i - 1] = temp1;
} else
continue;
}
}
for (int j = 0; j < buf.length; j++) {
System.out.print(buf[j] + "(" + j + ")");
}
System.out.println();
}

public static void main(String[] args) {
//对上述背包问题求最优解
int n = 3; //物品数量
double[] p = { 25, 24, 15 }; //效益数组
double[] w = { 18, 15, 10 }; //重量数组
double[] pw = { p[0] / w[0], p[1] / w[1], p[2] / w[2] }; //选取pi/wi为其量度标准
int[] index = { 0, 1, 2 }; //数组索引
double[] record = new double[3];//记录排序前数组下标
double cu = 20; //背包剩余容量
order(pw, index); //排序
//背包问题的贪心算法
int i = 0;
for (i = 0; i < n; i++) {
if (w[index[i]] < cu) {
record[i] = 1;
cu = cu - w[index[i]];
} else {
break;
}
}
if (i < n) {
record[i] = cu / w[index[i]];
}
for (int j = 0; j < record.length; j++) {
System.out.print("x" + j + "\t");
System.out.print(record[j] + "\t");
}
}
}

[大雷子老师]

顶一下。

[zhaigates]

学习

[shiboss]

三楼已经比较详细了

[genius_tong]

参考下：http://download.csdn.net/source/780723

[jlj84237485]

帮顶一下

[zj15919739808]

顶一个

[fskjb01]

好高深啊。。。。

[jryu2k5]

我也想过贪心算法，遗传算法，动态规划算法等，这些算法可能对于单一的背包问题可能有效，但是该问题是包含无限个标准背包，其容量大小固定，而且还有N个剩余的背包，而且物品的个数不一定就是一个，可以是多个，求的是装完所有物品所使用的背包的剩余空间最小，若使用贪心算法岂不是要每个背包都运算一次，再来一次统计可能的解决方案，再将解决方案无法解决的物品组合放到标准背包里，假如背包剩余的个数不是简单的一百个，而是一万，甚至10万或更多呢？这样的算法岂不是要一两天才计算出来，这很明显是无法接受的。所以，我想要的是一种具有效能的算法，可以将求解的过程缩短