一道数学题求教:设函数f(x)满足2f(x)+f(3-2x)=6x+1，则f(x)=?有一个参考答案,但我觉得好像有点问题!

[ReverseEngineering]

参考答案:

设3-2x=y且设2f(x)+f(y)=ax+by=6x+1
则ax+b(3-2x)=6x+1
比较系数
得,a=10/3,b=1/3,所以
2f(x)+f(y)=20x/3+y/3 .......(1)
2f(y)+f(x)=20y/3+x/3........(2)
解(1)和(2)得
3f(x)=13x-6y=13x-6(3-2x)=25x-18
所以,f(x)=(25x-18)/3

当x=1时,是正确的!

但是将(25x-18)/3代入2f(x)+f(3-2x)=6x+1却不能使方程左右相等!

[mathe]

你直接验算一下函数
h(t) 当t>0为exp(sin(ln(t)*2*pi/ln(4))+ln(t))
当t<0为-1/2*exp(sin(ln(-2t)*2*pi/ln(4))+ln(-2t))
然后看看这个函数是否满足h(-2t)=-2h(t)看看

[deng2000]

[Quote=引用 31 楼 mathe 的回复:]
哦,你说的是初等函数,这个比较难确切的去证明是否所有这样的解都给出了,我们很难去判断一个函数是否是初等函数.
我说的解析函数是复变函数里面的一个概念
[/Quote]
嗯,一直只在实变范围内考虑本题.把它扩展到复变函数也许有更完美的解决方法.我复变学得不好, 就不往此方向探索了.
关于是否所有这样的解都给出的问题, 其实可以证明,27楼得到的结果包括了所有可能的初等函数解.证明如下:
从27楼中的分析,我们可以知道,本题等价于求以下函数方程的解:
h(-2x) = (-2)*h(x) ----------- (1)
而求本题的所有初等函数解也就相当于求(1)的所有初等函数解.
由(1)式我们得到:
h(4x) = h((-2)(-2)x) = (-2)h((-2)x) = (-2)(-2)h(x) = 4h(x)
故不难得出,对任意整数k, 都有
h(4^k*x) = 4^k*h(x)
以及 h(4^(-k)*x) = 4^(-k)*h(x)
如果h(x)是R上的初等函数,则其必在R上连续,并且h'(x)也是初等函数,故也在其定义域中连续.因此,存在实数d>0使得h(x)在(0,d)中可导.
对任意t>0,显然存在整数N,使得当k>N时4^(-k)*t位于区间(0,d)中,又由h(0)=(-2)*h(0)知h(0)=0, 故根据Lagrange中值定理,
h(4^(-k)*t) = h(4^(-k)*t)-h(0) = h'(s)*4^(-k)*t
其中s是区间(0,4^(-k))中的某一点.
故, h(t) = h(4^k*4^(-k)*t) = 4^k*h(4^(-k)*t) = 4^k*h'(s)*4^(-k)*t = h'(s)*t
即 h(t) = h'(s)*t
注意我们可以把k取得充分大,从而4^(-k)以及s都无限接近0.上式说明h'(x)在0点附近是有界的,因为h'(x)也是初等函数,它必然在0点附近连续.因此,把上式取k趋于无穷大时的极限,我们就有:
h(t) = h'(0)*t
同理可证当t<0时上式也成立. 令c=h'(0), 我么就有:
h(t) = c*t
这正是我们在27楼构造的解, 证毕.

总结一下,对于本题我们目前已能得到三种情况下的所有解:
(1)所有解 (2)所有为连续函数的解 (3)所有为初等函数的解
因此我认为本题已基本close了.

(1)所有解
可参考mathe在18楼的构造法,也可用如下更直观的方法:
正如前面提到的,本题等价于求满足(1)式的h(x)
考虑如下关系
S = {(a,b)|a=(-2)^k*b, k为整数}
不难验证S是R上的一个等价关系,因此S把R拆分成一系列等价类.对于任意数x,(-2)*x与x都在同一个等价类中.故我们只需在每一个等价类内满足(1)式.
如下定义函数h(x): 在每个等价类中任取一点t,规定h(t)的值为一个数p,对此等价类中的所有数,定义
h((-2)^k*t) = (-2)^k*p
(注: {0}也是一个等价类,规定h(0)=0)
这样定义的函数h(x)满足(1)式, 而且它包括了(1)式的所有解.

(2)所有连续函数解
使用mathe在18楼的构造法

(3)所有初等函数解
根据27楼以及前面的讨论,我们知道所有初等函数解是:
f(x) = c*(x-1) - 3/ln2*(x-1)*ln|x-1| + 7/3
c为任意实常数

[deng2000]

[Quote=引用 42 楼 mathe 的回复:]
你直接验算一下函数
h(t) 当t>0为exp(sin(ln(t)*2*pi/ln(4))+ln(t))
当t <0为-1/2*exp(sin(ln(-2t)*2*pi/ln(4))+ln(-2t))
然后看看这个函数是否满足h(-2t)=-2h(t)看看
[/Quote]
嗯,这个是了, Thanks

[mathe]

有问题:
==================================
对任意t>0,显然存在整数N,使得当k>N时4^(-k)*t位于区间(0,d)中,又由h(0)=(-2)*h(0)知h(0)=0, 故根据Lagrange中值定理
===================================
对于初等函数h(0)不一定有定义

[mathe]

比如sin(1/x)是初等函数,不过它的性质在x=0时非常不好

[mathe]

为了构造一个不符合deng2000的初等函数,我们可以先做如下一些准备工作:
i)函数|x|时初等函数
这个是因为|x|=sqrt(x^2)
ii)如果函数a(x)和b(x)都是初等函数,那么函数
f(x)在x>0时取a(x)在x<0时取b(x)也是初等函数
定义f(x)=1/2(a(x)*x/|x|+a(x))+1/2(b(x)-b(x)*x/|x|)就可以了.

现在我们考虑deng2000的满足条件 h(-2x) = (-2)*h(x)的h(x)
我们看看是否除了h(x)=cx以外还有其它的初等函数.
由于我们知道上面的公式只要决定了x>0部分的函数性质,x<0部分也唯一确定了,而且有性质ii)我们知道,只要x>0部分时初等函数,整个函数就是初等函数.
所以我们现在只需要查看满足条件h(4x)=4*h(x),x>0的函数h(x)
我们定义函数u(x)=ln(h(exp(x)))-x
那么我们知道u(x+ln(4))=ln(h(4x))-x-ln(4)=ln(4*h(x))-x-ln(4)=ln(h(x)-x=u(x)
所以u(x)是周期为ln(4)的一个初等函数.
同样对于任意一个周期为ln(4)的初等函数,如果定义
h(t)= exp(u(ln(t))+ln(t)) (t>0)
那么必然有h(4t)=exp(u(ln(t)+ln(4))+ln(4)+ln(t))=4*exp(u(ln(t))+ln(t))=4*h(t),也就是满足所要求的条件,而且是一个初等函数.

特别的,比如我们可以选择u(x)=sin(x*2*pi/ln(4)),那么u(x)是周期为ln(4)的初等函数,而对应的
h(t)=exp(sin(ln(t)*2*pi/ln(4))+ln(t)) (t>0)
=-1/2*exp(sin(ln(-2t)*2*pi/ln(4))+ln(-2t)) (t<0)
就定义了一个满足条件的初等函数.只是表达式太复杂了一些.

[deng2000]

[Quote=引用 36 楼 mathe 的回复:]
有问题:
==================================
对任意t>0,显然存在整数N,使得当k>N时4^(-k)*t位于区间(0,d)中,又由h(0)=(-2)*h(0)知h(0)=0, 故根据Lagrange中值定理
===================================
对于初等函数h(0)不一定有定义
[/Quote]
mathe果然厉害,一眼就发现了我证明过程中的漏洞:)
好在此漏洞可以通过h(x)的线性性质弥补.
任找一个h(x)定义域中的点t,
有 h(4^(-k)*t) = 4^(-k)*h(t), 当k趋于无穷时,左边趋于h(0),右边趋于0. 也就是说,h(x)在x趋于0时有极限值0. 故要么h(x)在0有定义(连续),要么0点是h(x)的一个第三类(可去)间断点.我印象中初等函数是没有第三类间断点的,故h(0)必有定义.

[deng2000]

[Quote=引用 38 楼 mathe 的回复:]
为了构造一个不符合deng2000的初等函数,我们可以先做如下一些准备工作:
i)函数|x|时初等函数
这个是因为|x|=sqrt(x^2)
ii)如果函数a(x)和b(x)都是初等函数,那么函数
f(x)在x>0时取a(x)在x <0时取b(x)也是初等函数
定义f(x)=1/2(a(x)*x/|x|+a(x))+1/2(b(x)-b(x)*x/|x|)就可以了.

现在我们考虑deng2000的满足条件 h(-2x) = (-2)*h(x)的h(x)
我们看看是否除了h(x)=cx以外还有其它的初等函数.
由于我们知道…
[/Quote]
反例非常好,不过也有一个小问题:
h(4x)=4*h(x) 是 h((-2)*x) = (-2)*h(x)的必要条件而非充分条件.
你的引理ii只能保证所得到的函数在x>0和x<0时都满足前者,而不能保证其满足后者.

[deng2000]

mathe的例子还是很有启发性的.它让我意识到我在35楼的证明有一个真正的漏洞,在这一句:

...
即 h(t) = h'(s)*t
注意我们可以把k取得充分大,从而4^(-k)以及s都无限接近0.上式说明h'(x)在0点附近是有界的
...

s可以无限小并不能保证h'(x)在0点附近有界.因为s值由Lagrange中值定理决定,它并不取遍(0,0+)中的所有值.
Anyway,希望mathe能找到一个真正的反例,或者帮我补上此漏洞:). 目前,我只能把我在35楼结论的第3项修正为:
所有能保证h(x)(注意,不是f(x))在0点某个邻域内可导的解.

[yezilaoda]

数学忘的差不多了……

[csc008008]

令（2-3X）=3t
则X=（2-3T）/3

代入 2f(2-3t)+f(3t)=5-6t
2f(3x)+f(2-3x)=6x+1 把X换成T

则由上面两个式得
f(3x)=6x-1

故：f(x)=2x-1

[csc008008]

令（2-3X）=3t
则X=（2-3T）/3

代入 2f(2-3t)+f(3t)=5-6t
2f(3x)+f(2-3x)=6x+1 把X换成T

则由上面两个式得
f(3x)=6x-1

故：f(x)=2x-1

[Paradin]

标记

[archonlw]

学习了！

[UDX协议]

太jb牛b了

[learnEmbeddedDev]

学习...

[cht_1988]

good thing and see

[perfectshi]

都是人才啊，我看数学就头晕

[越过越咸]

<a href="http://ishare.iask.sina.com.cn/f/4971068.html" target="_blank">java面试宝典</a>

[EternalFaith]

曾经引以为荣的数学看来即将成为耻辱了，温习一下